Operateurs Tensoriel en MQ

[invite2e8ce853]

bonsoir!
Quelq'un serait il en mesure de m'expliquer clairement ce qu'est un operateur tensoriel en meca quantique ?
Je m'acharne dessus depuis tout a l'heur et je ne comprend tjrs pas
Merci !!!
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[invite8c514936]

Les opérateurs quantiques sont des objets qui peuvent s'exprimer dans plusieurs représentations, c'est-à-dire qu'au lieu de se donner l'opérateur on se donne ses éléments de matrice sur une base donnée. Une représentation très courante est la représentation position, qui dépend du choix d'un repère. Quand on change de repère, la représentation de l'opérateur change.

Or, certains opérateurs suivent des lois particulières quand on change de repère, ce sont des opérateurs tensoriels. Les plus simples sont les opérateurs vectoriels, qui se transforment comme... des vecteurs ! (en fait les plus simples ce sont les opérateurs scalaires mais c'est trop simple pour illustrer ce point).

J'arrête là, dis-moi si c'est trop ou pas assez...

[invite2e8ce853]

Je crois que je vois le principe. En fait dans le cas d'un operateur vectoriel, on constate que sous l'action d'une rotation, il se comporte d'une certaine maniere, la question etant cmt fait t-on pour savoir cmt il va se comporter ?
J'aimerais bien comprendre cmt cela fonctionne pour un vecteur, apres si j'ai bien compris ce n'est qu'une generalisation pour les tenseurs.

[invite2e8ce853]

la definition de la loi de transformation d'un operateur tensoriel ne me semble pas tres intuitive!!!! Un truc du genre :





...Objectif de la soiree "comprendre" le theorème de Wigner-Eckart...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c514936]

La méthode générale, c'est d'écrire l'opérateur en représentation position, puis voir comment les composantes changent quand tu changes de référentiel.

En pratique le plus simple, c'est d'utiliser le fait que les générateurs infinitésimaux des rotations, ce sont les opérateurs de moment cinétique J_x, J_y, J_z. Pour montrer qu'un opérateur à trois composantes A_x, A_y, A_z est de type vectoriel, il suffit de montrer qu'il a les mêmes lois de commutation avec les opérateurs J, c'est-à-dire que



et des relations similaires avec J_y et J_z.

PS : OK on peut aussi discuter la forme que tu écris dans ton message précédent, mais demain pasque là

[inviteca4b3353]

Salut,

Si je me rappelle bien, il y a une démonstration rigoureuse et détaillée (donc mathématiquement...poussée) du théorème de Wigner-Eckart dans le tome 2 de Messiah. De mémoire, je dirais qu'on définit un opérateur tensoriel par les relations de commutations qu'il doit vérifier avec les générateurs du groupe des rotations (les composantes de J). Par exemple, un opérateur V est dit vectoriel si [Jⁱ,V^j]=ie^ijkV_k.

Ca ressemble pas mal à la définition d'un tenseur en mécanique classique : c'est un objet dont les composantes se transforment comme les coordonnées dans un changement de référentiel (une rotation). En quantique cette propriété se traduit sous forme de commutateurs avec les générateurs de ces rotations (les J).

Sinon, le théorème de Wigner-Eckart dit grosso modo que la restriction d'un opérateur vectoriel V à un sous espace propre de J avec la valeur j est proportionnel à J.

Bonne nuit.

[invite2e8ce853]

bonsoir,
Merci a tous pour vos precedentes reponses.
J'ai toujours quelques problemes avec cette maudite definition d'operateur tensoriel.
En fait je n'arrive pa a verifier que par exemple l'operateur position est un operateur tensoriel d'ordre 0 et l'operateur moment cinetique est un op tensoriel d'ordre 1 en utilisant la definition qui est dans mon cours :

Si quelqu'un pouvait m'eclairer ! merci

[invite8c514936]

En fait je n'arrive pa a verifier que par exemple l'operateur position est un operateur tensoriel d'ordre 0 et l'operateur moment cinetique est un op tensoriel d'ordre 1 en utilisant la definition qui est dans mon cours :

L'opérateur U(R) que tu introduis n'est pas quelconque, en fait tu peux l'écrire en faisant introduire les opérateurs de moment cinétique J_x, J_y et J_z, ou même mieux J_+/-1=J_x +/- i J_y et J₀=J_z.

Tu veux calculer U⁺(R).T.U(R) où T est l'opérateur position ou l'opérateur moment cinétique. Dans le deuxième cas tu montres facilement l'égalité en remplaçant T par J en calculant cette expression. Pour le premier cas (l'opérateur position) je pense que tu es obligé de postuler que c'est un opérateur vectoriel (en postulant les relations de commutation avec le moment cinétique). Dans le cas où le moment cinétique est purement orbital (r vectoriel p), tu peux effectivement montrer ces relations de commutation mais dans le cas général je pense qu'il faut les postuler.

[invite2e8ce853]

Je ne trouve pas ça \'evident du tout ! arreter moi si je me trompe, pour montrer que le moment cinetique est un operateur tensoriel d'ordre il faut par exemple calculer pour une rotation arbitraire d'angle alpha d'axe n ceci :


et montrer que cela vaut :

Meme en inserant l'identite un pe partout je vois pas comment on peut faire apparaitre seulement , en inserant l'identite vais faire apparaitre plein de somme partout et des matrices de Wigner du genre
J'ai aussi penser considerer les rotations infinitesimales puis bidouiller un peu avec les differents commutateurs, mais ca ne ma rien donner.
Bref je suis toujours dans l'impasse...
Merci d'avance de votre aide !!

[invite8c514936]

Heu... C'est quoi pour toi la différence entre L et J ?

[invite2e8ce853]

Oups pardon ya pa de difference je me suis trompe dans mes notations... C'est des L partout...

[invite1e8ca836]

Les rotations infinitésilales dans l'espace à 3 dimensions peuvent s'écrire I+aR où I est l'identité (représentable par la matrice identité 3x3), a l'angle de rotation et L un opérateur infinitésimal (représentable par une matrice 3x3). Tous les R sont une combinaison linéaire de trois R particuliers nommés L, et ces L obéissent aux lois d'anticommutation que vous connaissez. Ils forment ainsi l'algèbre de Lie so(3), alors que les rotations forment le groupe SO(3).
On utilise de nombreuses algèbres de Lie en mécanique quantique, pour introduire le spin, par exemple...