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algebre des operateurs



  1. #1
    gatsu

    algebre des operateurs


    ------

    un des theoremes que je viens de voir en algebre des operateurs est:

    -"Si 2 operateurs lineaires ont memes fonctions propres alors ils commutent."
    ça pas de probleme je sais le demontrer.

    Mais est ce que la reciproque est vraie ? (pour etre franc je n'arrive pas à le demontrer pour l'instant)

    merci de vos reponses.

    ps:j'ai mis ce sujet en physique et non en mathematique parce que j'ai precisement vu ce theoreme en cours de MQ donc...

    -----

  2. #2
    deep_turtle

    Re : algebre des operateurs

    Oui la réciproque est vraie.

    Voici une démo light, je ne sais pas si elle marche en dimension infinie :

    Soit f une fonction propre d'un opérateur B, associée à la valeur propre b : Bf=bf.

    Le fait que A et B commutent s'écrit :

    B(Af) = A(Bf)

    Donc B(Af) = b Af, on en déduit que Af est vecteur propre de B avec la valeur propre b.

    Si les espaces propres de B ne sont pas dégénérés, alors ca veut dire que Af est proportionnel à f (car ce sont tous deux des vecteurs propres de B associés à la même valeur propre b), donc f est vecteur propre de A.

    Sinon, on peut aussi s'arranger pour que ce soit le cas, je te laisse le soin de le faire...

  3. #3
    gatsu

    Re : algebre des operateurs

    merci deep-turtle (je n'avais pas pensé à la valeur propre non degenerée )

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