Droites diagonalisables et nilpotentes

[invite92d5312d]

bonju bonjour.. Bientot la rentrée et sutout bientot mon ratrapage ! je suis en trai de refaire les sujets qui ontété donné ax derniers exams, et il y a un question qui me pose probleme si qelqu'un pouvait m aider !
alors on a
1 1 0 1
0 1 0 1
A = 0 0 2 0
0 0 0 2

On demandait d abord si A était diagonalisable, ca j ai trouvé c'était non.
Mais apres ilsdemandent de trouvr ELTA diagonalisable et N nilptente telles que A = DELTA + N et DELTA N = N DELTA
Si uelqu'n pouvait me donner une réponse complète , car j avais des pistes mais je 'arrive jamais au bout...
Merci ^^
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[invitec053041c]

Bonjour.

Te souviens-tu quelle tête a une matrice nilpotente ?
Quelle sont les matrices diagonalisables les plus simples?

Cordialement.

[invitec053041c]

Mmm, les solutions évidentes ne commutent pas...

[inviteaeeb6d8b]

Salut !

Bon déjà, A n'est pas diagonalisable c'est OK.

Ensuite, je pensais comme toi Ledescat, mais en fait, non... ce serait trop simple

on pourrait prendre pour D :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

et pour N :

0 1 0 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0

malheureusement DN n'est pas égal à ND

à moins que j'ai fait une erreur de calcul

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

malheureusement DN n'est pas égal à ND

à moins que j'ai fait une erreur de calcul

Romain

Non elles ne commutent pas ... Ce qui est indispensable pour le binôme. Bon je verrai ça l'année prochaine [sans oublier que l'année prochaine commence demain ].

[inviteaeeb6d8b]

Le problème vient du 2 en bas à droite de A

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

On le change en 1, et ça marche

[invitec053041c]

Le problème vient du 2 en bas à droite de A

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

On le change en 1, et ça marche

Monsieur l'examinateur, je peux changer ma matrice en matrice identité ? Ca simplifierait pas mal de choses .

[inviteaeeb6d8b]

Monsieur l'examinateur, je peux changer ma matrice en matrice identité ? Ca simplifierait pas mal de choses .

C'est pas faux

Non, mais je m'explique (enfin, ça dépend du niveau de l'initiateur du post...)

Si l'objectif de l'exercice et de calculer Aⁿ c'est une bonne chose d'écrire A = D + N. Effectivement, si elles ne commutent pas, on peut pas calculer (enfin, on peut mais ça ne se simplifie pas comme on voudrait).

Si dans cet exercice on veut faire calculer Aⁿ et que c'est niveau L1, je pense que la décomposition en D + N doit être évidente et donc que ... peut-être, l'initiateur du post s'est planté en recopiant sa matrice

Romain

PS : c'est quoi que tu vas voir l'an prochain ?

[invitec053041c]

PS : c'est quoi que tu vas voir l'an prochain ?

Les réductions d'endomorphismes, même si on l'a largement abordé en fin de sup.

[inviteaeeb6d8b]

Tiens, on en avait déjà parlé

http://forums.futura-sciences.com/thread156689.html

[invitec053041c]

Ah ouiii c'est le même ! Sur les décompositions de Jordan tout ça.
Et bien je vais m'abstenir d'essayer de lui venir plus en aide, car à la suite de l'ancien fil (dont celui-ci est une copie), ce cher eleo m'avait envoyé un MP salé du genre: "merci de ne m'avoir pas aidé, je n'ai rien compris de ce que tu as dit".

A bon entendeur, salut .

[inviteaeeb6d8b]

Bon, beh... comme j'ai cherché je poste ma réponse

Si on prend pour D :
1 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 2 0
0 0 0 2

et pour N la matrice telle que N+D = A, on a :

D est diagonalisable
N est nilpotente
ND = DN

Du coup on peut facilement calculer Aⁿ

Ma méthode :
j'ai écrit : D=
1 a b c
0 1 d e
0 0 2 f
0 0 0 2

et j'ai écrit N de la même manière (D + N = A)

ensuite, j'ai obtenu des relations en écrivant DN = ND

et après j'ai cherché pour que D soit diagonalisable

Romain

[invite40f82214]

bonju bonjour.. Bientot la rentrée et sutout bientot mon ratrapage ! je suis en trai de refaire les sujets qui ontété donné ax derniers exams, et il y a un question qui me pose probleme si qelqu'un pouvait m aider !
alors on a
1 1 0 1
0 1 0 1
A = 0 0 2 0
0 0 0 2

On demandait d abord si A était diagonalisable, ca j ai trouvé c'était non.
Mais apres ilsdemandent de trouvr ELTA diagonalisable et N nilptente telles que A = DELTA + N et DELTA N = N DELTA
Si uelqu'n pouvait me donner une réponse complète , car j avais des pistes mais je 'arrive jamais au bout...
Merci ^^

nilpotente veut dire que multiplié par elle meme un certains nombre de fois on obtient 0

donc essai de la mettre au carré puis au cube....

[invitec053041c]

nilpotente veut dire que multiplié par elle meme un certains nombre de fois on obtient 0

donc essai de la mettre au carré puis au cube....

Telle quelle, on aura du mal à trouver une matrice nulle en multipliant M par elle même un certain nombre de fois , puisque justement on cherche une décomposition de M.

[inviteaeeb6d8b]

La décomposition que j'ai donnée ne marche pas finalement en fait, j'ai de plus en plus l'impression que la décomposition de Dunford n'existe pas pour cette matrice

Romain