Matrices nilpotentes et valeurs propres

**Gpadide** · 19/02/2007, 19h09

Bonjour, je cherche a montrer que zero est la seule valeur propre possible pour une matrice nilpotente. Ca me semble evident avec le polynome minimal qui est de la forme X^p mais je n'arrive pas a le montrer. Pouvez vous m'aider ?
Merci.

**lolouki** · 19/02/2007, 20h07

Bonsoir,
les facteurs du polynome minimal et les facteurs du polynome caracteristique sont les memes. Donc X est facteur du polynome caracteristique. Donc 0 est la seule valeur propre.

**MMu** · 19/02/2007, 21h31

Autrement dit ...

Il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Il est évident que la seule valeur propre de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .
D'autre part $\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ avait une valeur propre $\text{[math]}$ il résulterait une valeur propre $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ (contradiction !)

**Gpadide** · 19/02/2007, 22h27

Envoyé par lolouki

Bonsoir,
les facteurs du polynome minimal et les facteurs du polynome caracteristique sont les memes. Donc X est facteur du polynome caracteristique. Donc 0 est la seule valeur propre.

Je ne comprends pas ce raisonnement. C'est pas parce que X est facteur d'un polynome qu'il n'y a pas d'autres facteurs.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**indian58** · 20/02/2007, 09h31

Soit A une matrice nilpotente. Si l est une valeur propre et x un vecteru propre associé à l, alors Ax=lx.Doù lⁿx=Aⁿx=0 car A est nilpotente. Donc l=0.

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