[Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

[invited5b2473a]

Bonjour à tous,
voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de M_n(R)??

Bon courage.
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[invite35452583]

Bonjour à tous,
voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de M_n(R)??

Bon courage.

Bonsoir,

sans trop réfléchir

[invite4793db90]

Salut,

peut-être ?

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Non, non Martini.

Essaye
0 1
0 0 et additionne avec sa transposée...

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

Non, non Martini.

Essaye
0 1
0 0 et additionne avec sa transposée...

__
rvz

Ah zut, on parle de la structure additive ?

J'avais compris l'énoncé au sens multiplicatif...

[invite6b1e2c2e]

Ah ba c'est vrai, je sais pas trop en fait.

Si c'est pour la structure multiplicative, il est assez clair qu'on doit avoir que det = 0 pour toute matrice engendrée par des nilpotentes, et en fait, je me demande même si on peut trouver des endomorphismes ayant une valeur propre non nulle de cette manière...

__
rvz

[invitedf667161]

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.

[invite35452583]

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.

En effet (je pense en tout cas) :
trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
+ les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.

[invited5b2473a]

En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes).

C'est effectivement au sens additif qu'il faut entendre l'exercice.

[invited5b2473a]

En effet (je pense en tout cas) :
trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
+ les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.

Effectivement, c'es une démonstration possible.