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[Algèbre linéaire] Matrices nilpotents



  1. #1
    indian58

    [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents


    ------

    Bonjour à tous,
    voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

    Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de Mn(R)??

    Bon courage.

    -----

  2. #2
    homotopie

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Bonjour à tous,
    voici un petit exercice que je soumets à votre sagacité.

    Quelle est l'espace engendré par les matrices nilpotentes de Mn(R)??

    Bon courage.
    Bonsoir,

    sans trop réfléchir

  3. #3
    martini_bird

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Salut,

    peut-être ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    rvz

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Salut,

    Non, non Martini.

    Essaye
    0 1
    0 0 et additionne avec sa transposée...

    __
    rvz

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Non, non Martini.

    Essaye
    0 1
    0 0 et additionne avec sa transposée...

    __
    rvz
    Ah zut, on parle de la structure additive ?

    J'avais compris l'énoncé au sens multiplicatif...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. #6
    rvz

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Ah ba c'est vrai, je sais pas trop en fait.

    Si c'est pour la structure multiplicative, il est assez clair qu'on doit avoir que det = 0 pour toute matrice engendrée par des nilpotentes, et en fait, je me demande même si on peut trouver des endomorphismes ayant une valeur propre non nulle de cette manière...

    __
    rvz

  8. #7
    GuYem

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #8
    homotopie

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes), je dirais les matrices de trace nulles.
    En effet (je pense en tout cas) :
    trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

    Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
    + les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.

  10. #9
    indian58

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    En comprenant l'exercice au sens additif (sous espace vectoriel engendrés par les nilpotentes).
    C'est effectivement au sens additif qu'il faut entendre l'exercice.

  11. #10
    indian58

    Re : [Algèbre linéaire] Matrices nilpotents

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    En effet (je pense en tout cas) :
    trace =>ker est un sous-espace de codimension 1 contenant toutes les nilpotentes.

    Les matrices avec un unique 1 hors diagonale->n(n-1) matrices trivialement indépendantes
    + les n-1 avec "1" en indices (1,1) et (1,i) "-1" indices (i,i) et (i,1) complètent une famille libre de rang n²-1 de matrices nilpotentes.
    Effectivement, c'es une démonstration possible.

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