algèbre matrices

[invitefa636c3d]

bonjour,
je bute sur certaines questions d' un exo d'apparence facile.

on considère C symétrique positive et µ>0 ,on note In l'identité

1)il faut voir que µIn+C est inversible
j'ai tenté le raisonnement suivant utilisant des séries
on a µIn+C =In+C/µ
or C est symétrique donc la norme de C est son rayon spectral et quitte à prendre µ superieur au max des val propres alors la norme de C/µ est inférieur à 1 donc µIn+C est inversible

est-ce correct?

2) on doit aussi montrer que µIn-C et (µIn+C)^(-1) commutent
c'est surement simple mais je seche

3)soit D=(µIn-C)(µIn+C)^(-1)
j'ai montre que D est symétrique et j'ai justifie que C admet une bon de vecteurs propres car C est symetrique donc diagonalisable par une matrice orthogonale....
mais je n'arrive à voir pourquoi cette même bon est une bon de vecteurs propres pour D et pourquoi la norme 2 de D est inferieur ou égal à 1

voila
merci à ceux qui m'aideront
amicalement
jameso
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[invite8cc9db4e]

1)il faut voir que µIn+C est inversible
j'ai tenté le raisonnement suivant utilisant des séries
on a µIn+C =In+C/µ

Salut !
sauf erreur de ma part, c'est faux... C=In le montre. Termes diagonaux en différents de termes diagonaux en .

Une matrice C symétrique définie positive admet une décomposition de Cholesky (il y a des rappels simples ici) et C est inversible.

Montrer que est symétrique est évident.

Reste à montrer qu'elle est définie positive.
.
En posant où est le symbole de Kronecker (=1 si i=j ou 0 sinon), tu arrives à montrer que F est définie positive.

En espérant ne pas raconter n'importe quoi Bonne journée.

[invitefa636c3d]

oui tu as raison, j'ai raconté n'importe quoi !!!!!! je ne devrais pas faire de maths le jour du réveillon.....
on m'a proposé une autre méthode pour voir que C est inversible
comme µ>0 et C positive donc à val propres positives ou nulles alors -µ ne peut être val propres donc det(µIn+C) est différent de zéro ie µIn+C inversible

c'est peut-être plus simple comme ça

merci à toi topov
jameso

[invite8cc9db4e]

comme µ>0 et C positive donc à val propres positives ou nulles

Ok...

alors -µ ne peut être val propres

De C, oui. C'est ce que tu dis ?

donc det(µIn+C) est différent de zéro ie µIn+C inversible

Je comprends pas le "donc" :? ie pas le rapport avec ce qui précède.
Tu peux détailler un peu stp ?
J'aimerais bien comprendre car c'est plus "élégant" comme démonstration
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

c'est bon j'ai eu la réponse à mes questions ...
merci de votre aide

joyeux noêl à tous

[invitefa636c3d]

on a posté en même temps!!
j'essaye de m'expliquer:
oui -µ ne peut être val propres de C car µ>0 donc -µ<0 et C a ses val propres positives...
donc si -µ n'est pas val propres det(µIn+C) different de 0 ( c'est le poly caractéristique de C...)

je me suis encore gouru