algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

[invite0398e75c]

Bonjour à tous, le but de cet exercice est de transformer un système différentiel d'ordre 2 en ordre 1 dans le but de le résoudre.

[ x(t) + y(t) + x'(t) + x"(t) = 0
[ x(t) + y(t) + y'(t) = 0

avec les conditions initiales :

x(0) = y(0) = 0 et x'(0) = 2. les vecteurs propres auront comme première composante 1.

j'ai commencé comme suit :

je pose

z1(t) = x(t)
z2(t) = x'(t)
z3(t) = y(t)
z4(t) = y'(t)

ce qui donne

[ z'1(t) = z2(t)
[ z'2(t) = x"(t) = - z2 - z1 - z3
[ z'3(t) = z4
[ z'4(t) = y"(t) = 0

on a donc

(z'1(t))---------(z1(t))
(z'2(t))---------(z2(t))
(z'3(t)) =--A *---(z3(t))
(z'4(t))----------(z4(t))

avec A =

( 0 1 0 0 )
( -1 -1 -1 0 )
( 0 0 0 1 )
( 0 0 0 0 )

polynome caractéristique Pa (x) = -x^2(-1-x)

valeurs propres : 0 double et 1

comment peut on continuer ? la je suis bloqué. On ne peut utiliser Jordan?

merci pour votre aide .
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[invite0398e75c]

j'ai comme indication que les valeurs complexes ont un module égal à racine de 2. mais je ne vois pas où l'on pourrait s'en servir.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Pourquoi 4 composantes à z? Et pourquoi y"(t) = 0?

Moi je prendrais comme vecteur d'état z=(x,x',y), d'où z'=(x',x",y')... avec z(0)=(0,2,0).

-- françois

[invite0398e75c]

je suis d'accord avec toi mais la encore la matrice A =

(0 1 0
(-1 -1 -1
(-1 0 -1

est une matrice nulle. donc comment faire pour trouver des valeurs propres ? Comment continuer la résolution ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Rebonjour,

Qu'est-ce que tu entends par "matrice nulle"?

Si tu calcules le déterminant de (A -X.Id) tu vois que 0 est valeur propre simple, et (-1) valeur propre double. Normalement, tu devrais savoir conclure (ça doit être dans ton cours!)

-- françois

[invitea3eb043e]

J'ai comme l'impression que les 2 premières équations donnent que :
y' = x' + x"
donc, avec les conditions initiales :
y = x + x' -2
et ensuite, c'est comme d'habitude une équation du 2ème ordre en x.

[invite6de5f0ac]

J'ai comme l'impression que les 2 premières équations donnent que :
y' = x' + x"
donc, avec les conditions initiales :
y = x + x' -2
et ensuite, c'est comme d'habitude une équation du 2ème ordre en x.

Bonjour,

Exact, mais apparemment ce n'est pas le sujet de l'exo, on lui demande de se ramener à un système linéaire du premier ordre!

-- françois

[invite0398e75c]

je trouve bien les valeurs propres -1 double et 0

cela donne comme vecteur propre pour 0 : ( 1 , 0 , -1)
mais il ya un problème pour le vecteur propre de -1 qui est nul alors que ce n'est pas possible pourtant

E-1 :
x+y = 0
-x-z=0
-x=0

Ai je fait une faute quelque part ?

[invite0398e75c]

sachant que le sujet m'impose que les vecteurs propres aient comme première composante 1.

[invite0398e75c]

Et quel polynome caractéristique trouvait vous ?

moi en refaisant je trouve

X [ (1+X)^2 - 1 ] et du coup les valeurs propres ca ne marche plus !!! à l'aide , merci