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algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)



  1. #1
    sothe2000

    algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    Bonjour à tous, le but de cet exercice est de transformer un système différentiel d'ordre 2 en ordre 1 dans le but de le résoudre.

    [ x(t) + y(t) + x'(t) + x"(t) = 0
    [ x(t) + y(t) + y'(t) = 0

    avec les conditions initiales :

    x(0) = y(0) = 0 et x'(0) = 2. les vecteurs propres auront comme première composante 1.


    j'ai commencé comme suit :

    je pose

    z1(t) = x(t)
    z2(t) = x'(t)
    z3(t) = y(t)
    z4(t) = y'(t)

    ce qui donne

    [ z'1(t) = z2(t)
    [ z'2(t) = x"(t) = - z2 - z1 - z3
    [ z'3(t) = z4
    [ z'4(t) = y"(t) = 0

    on a donc

    (z'1(t))---------(z1(t))
    (z'2(t))---------(z2(t))
    (z'3(t)) =--A *---(z3(t))
    (z'4(t))----------(z4(t))

    avec A =

    ( 0 1 0 0 )
    ( -1 -1 -1 0 )
    ( 0 0 0 1 )
    ( 0 0 0 0 )

    polynome caractéristique Pa (x) = -x^2(-1-x)

    valeurs propres : 0 double et 1

    comment peut on continuer ? la je suis bloqué. On ne peut utiliser Jordan?

    merci pour votre aide .

    -----


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  3. #2
    sothe2000

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    j'ai comme indication que les valeurs complexes ont un module égal à racine de 2. mais je ne vois pas où l'on pourrait s'en servir.

  4. #3
    fderwelt

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    Bonjour,

    Pourquoi 4 composantes à z? Et pourquoi y"(t) = 0?

    Moi je prendrais comme vecteur d'état z=(x,x',y), d'où z'=(x',x",y')... avec z(0)=(0,2,0).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  5. #4
    sothe2000

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    je suis d'accord avec toi mais la encore la matrice A =

    (0 1 0
    (-1 -1 -1
    (-1 0 -1

    est une matrice nulle. donc comment faire pour trouver des valeurs propres ? Comment continuer la résolution ?

  6. #5
    fderwelt

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    Rebonjour,

    Qu'est-ce que tu entends par "matrice nulle"?

    Si tu calcules le déterminant de (A -X.Id) tu vois que 0 est valeur propre simple, et (-1) valeur propre double. Normalement, tu devrais savoir conclure (ça doit être dans ton cours!)

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jeanpaul

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    J'ai comme l'impression que les 2 premières équations donnent que :
    y' = x' + x"
    donc, avec les conditions initiales :
    y = x + x' -2
    et ensuite, c'est comme d'habitude une équation du 2ème ordre en x.

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  10. #7
    fderwelt

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    J'ai comme l'impression que les 2 premières équations donnent que :
    y' = x' + x"
    donc, avec les conditions initiales :
    y = x + x' -2
    et ensuite, c'est comme d'habitude une équation du 2ème ordre en x.
    Bonjour,

    Exact, mais apparemment ce n'est pas le sujet de l'exo, on lui demande de se ramener à un système linéaire du premier ordre!

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  11. #8
    sothe2000

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    je trouve bien les valeurs propres -1 double et 0

    cela donne comme vecteur propre pour 0 : ( 1 , 0 , -1)
    mais il ya un problème pour le vecteur propre de -1 qui est nul alors que ce n'est pas possible pourtant

    E-1 :
    x+y = 0
    -x-z=0
    -x=0

    Ai je fait une faute quelque part ?

  12. #9
    sothe2000

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    sachant que le sujet m'impose que les vecteurs propres aient comme première composante 1.

  13. #10
    sothe2000

    Re : algèbre linéaire>système différentiel (avec matrices)

    Et quel polynome caractéristique trouvait vous ?

    moi en refaisant je trouve

    X [ (1+X)^2 - 1 ] et du coup les valeurs propres ca ne marche plus !!! à l'aide , merci

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