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valeurs propres et rang



  1. #1
    Titania

    valeurs propres et rang


    ------

    Bonjour!
    C'est sans-doute évident mais je ne vois plus pourquoi il est évident de dire que pour une matrice (de Mn(R))de rang 1 (respectivement 2) 0 est valeur propre d'ordre supérieur ou égal à n-1 (respectivement supérieur ou égal à n-2).

    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    cedbont

    Re : valeurs propres et rang

    Bonjour,
    je prends l'exemple pour le rang 1.

    Si ta matrice est de rang 1, alors l'application f représentée par ta matrice est une projection sur la droite vectorielle dirigée par un élément de Im(f).

    Donc pour tout élément x de Rn-Im(f) (on suppose que f est un endomorphisme), f(x) = 0. Or dim(Rn-Im(f)) = n-1.

    D'où l'ordre de multiplicité n-1 de 0.

  3. #3
    Ksilver

    Re : valeurs propres et rang

    Salut !

    oui, ou tous simplement, parceque le rang d'une application, c'est n - (dim ker f) . et que l'ordre de multiplicité d'une valeur propre l, c'est dim ker (f-l*Id), donc pour pour 0, c'est dim kef f.

  4. #4
    Titania

    Re : valeurs propres et rang

    Ok, merci pour vos réponses!

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