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Valeurs propres et matrice nilpotente



  1. #1
    mimi140

    Valeurs propres et matrice nilpotente


    ------

    Bonjour!

    je cherche à montrer que si une matrice a toutes ses valeurs propres nulles, alors elle est nilpotente
    (j'ai l'autre sens mais celui-ci je ne vois pas comment y arriver...)

    Merci !

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    Salut !

    si toute les valeurs propes sont nul, c'est que le polynome charactérisique est X^n.


    donc en vertu du théorème de Caley Hamilton, ta matrice est nilpotente : M^n=0

    non ?

  4. #3
    mimi140

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    Merci bien Ksilver!
    je m'en veux de ne pas y avoir pensé à ce théorème...Dire que je cherchais beaucoup plus compliqué....

  5. #4
    Ksilver

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    De rien !


    d'ailleur note, que normalement, la réciproque ce fait exactement pareil : "si M est nilpotente alors M^p=0, donc le polynome minimal de M divise X^p, donc la seul valeur propre possible pour M est 0" .

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    Bonjour,
    juste histoire d'être tatillon il faut que les valeurs propres soient calculées dans un corps algébriquement clos.

    Cordialement

  8. #6
    GuYem

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    J'aime être tatillon, donc je rebondis sur toi homotopie :

    -Quand a-t-on besoin de la cloture du corps ?
    -que peut-il se passer si le poly caractéristiques est X^^n et que le corps n'est pas clos ?
    -ne peut-on pas toujours (bourrinement) se mettre dans une cloture algébrique, faire la sauce là haut et conclure ? (si on est nilpotente sur un sur-corps, on est nilpotente tout court non ?)
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  10. #7
    homotopie

    Re : Valeurs propres et matrice nilpotente

    Bonsoir,
    tu as raison Guyem je n'ai pas été assez tatillon.
    Pour le sens matrice nilpotente=>toutes les valeurs propres sont nulles (du moins si on est sur un anneau intègre).
    C'est pour le sens inverse qu'il faut cette colture. Un exemple : la matrice d'une rotation non triviale et qui n'est pas une symétrie centrale dans R² n'a aucune valeur dans R mais n'est pas nilpotente.

    Cordialement

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