Valeurs propres et matrice nilpotente

[invite9f42f3b4]

Bonjour!

je cherche à montrer que si une matrice a toutes ses valeurs propres nulles, alors elle est nilpotente
(j'ai l'autre sens mais celui-ci je ne vois pas comment y arriver...)

Merci !
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[invite4ef352d8]

Salut !

si toute les valeurs propes sont nul, c'est que le polynome charactérisique est X^n.


donc en vertu du théorème de Caley Hamilton, ta matrice est nilpotente : M^n=0

non ?

[invite9f42f3b4]

Merci bien Ksilver!
je m'en veux de ne pas y avoir pensé à ce théorème...Dire que je cherchais beaucoup plus compliqué....

[invite4ef352d8]

De rien !


d'ailleur note, que normalement, la réciproque ce fait exactement pareil : "si M est nilpotente alors M^p=0, donc le polynome minimal de M divise X^p, donc la seul valeur propre possible pour M est 0" .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
juste histoire d'être tatillon il faut que les valeurs propres soient calculées dans un corps algébriquement clos.

Cordialement

[invitedf667161]

J'aime être tatillon, donc je rebondis sur toi homotopie :

-Quand a-t-on besoin de la cloture du corps ?
-que peut-il se passer si le poly caractéristiques est X^^n et que le corps n'est pas clos ?
-ne peut-on pas toujours (bourrinement) se mettre dans une cloture algébrique, faire la sauce là haut et conclure ? (si on est nilpotente sur un sur-corps, on est nilpotente tout court non ?)

[invite35452583]

Bonsoir,
tu as raison Guyem je n'ai pas été assez tatillon.
Pour le sens matrice nilpotente=>toutes les valeurs propres sont nulles (du moins si on est sur un anneau intègre).
C'est pour le sens inverse qu'il faut cette colture. Un exemple : la matrice d'une rotation non triviale et qui n'est pas une symétrie centrale dans R² n'a aucune valeur dans R mais n'est pas nilpotente.

Cordialement