Défi autour de Césaro

[invite35452583]

On sait que si une suite réelle () converge vers le réel l (dans le sens classique) alors converge vers l. (lemme de Césaro)
D'autre part, f est une fonction continue en a équivaut à quelque soit la suite ( convergeant vers a alors (f()) converge vers f(a).
On dit d'une suite qu'elle converge au sens de césaro si converge vers l. (ce qui est moins fort que la convergence classique) Cette notion est classique.
Maintenant on dit qu'une fonction f est continue au sens de Césaro si quelque soit la suite ( convergeant au sens de Césaro vers a alors (f()) converge au sens de Césaro vers f(a). (l'hypothèse et la conclusion sont donc moins fortes que dans la notion classique de fonction continue).

Questions :
1) x->x² est-elle continue au sens de Césaro ?
2) x-> est-elle continue au sens de Césaro ?
3) Comment caractériser les fonctions continues au sens de Césaro ?
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[martini_bird]

Salut,

1) x->x² est-elle continue au sens de Césaro ?

Non : soit et .

Il est facile de constater que converge vers au sens de Césaro : .

Mais d'autre part : la fonction est donc nulle part continue au sens de Césaro.

Cordialement.

[MMu]

Uniquement les fonctions linéaires sont Césaro-continues .
Pour montrer cela on considère une suite Césaro-convergente prenant deux valeurs
avec les fréquences d'apparition , telles que .
La Césaro-continuité entraine : .. etc

[martini_bird]

Re,

on peut utiliser la même suite pour montrer que n'est pas continue au sens de Césaro sur . En effet : .

Cordialement.

[EDIT] Ah ben j'avais pas vu le message de MMu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bravo à tous les deux
Mmu j'espère que tu ne connaissais pas déjà la réponse, si tu ne connaissais pas un énorme bravo d'avoir trouvé si vite. M'enfin tu aurais pu te contenter de laisser un indice et laisser les autres chercher .
Les deux premières fonctions étaient là évidemment pour se rendre compte qu'assez bizarrement il y a bien peu de fonctions continues au sens de Césaro.
Une autre méthode (très voisine de celle de Mmu qui peut d'ailleurs être modifiée pour parvenir au même résultat) montre qu'il suffit même que f soit continue au sens de Césaro en un point a, on pose b=f(a)
Quitte à utiliser la transfomation classique g(x)=f(x-a)-b on peut supposer que f est continue en 0 et f(0)=0.
f est additive : on utilise la suite x+y,-x,-y,x+y,-x,-y... qui converge SC vers 0 f(x+y),-f(x),-f(y),... converge alors aussi au SC vers 0 et on a f(x+y)=f(x)+f(y)
f est continue en 0 : (xn) tend vers 0 (sens classique)->(nxn-(n-1)xn-1) tend SC vers 0->(f((nxn-(n-1)xn-1)) tend S vers 0->(grace à l'additivité) (f(xn)) tend vers 0 au sens classique.
f est additive et continue en un point donc f est affine.