Bonjour, il existe une methode avec cesaro pour trouver un equivalent d'une suite definie par un+1=f(un), lorsque un tend vers zero et qu'on connait un Devpt limité de f. Pouvez vous m'en donner la demarche générale ? (Je ne sais l'appliquer que pour f(t)=ln(1+t) mais je ne comprends pas pourquoi on passe par certaines etapes)
Salut !
pour appliquer Cesaro il vaut avoir une suite Vn telle que Vn+1 - Vn tendent vers une limite finit k.
bon il va falloir construire une telle suite Vn a partir de Un.
pour cela il faut avoir une petit idée de ce à quoi ressemble l'equivalent de Un...
par exemple si Un ~a/sqrt(n) il est interessant de poser Vn= 1/Un² !
en general si Un tend vers 0 il est efficace de chercher Vn=1/Un^k
par exemple pour Un+1 = ln(1+Un), posons Vn=1/Un^k
Vn+1 - Vn = 1/ln(1+Un)^k-1/Un = 1/(Un-Un²/2+O(Un^3))^k-1/Un.
le premier therme est en 1/Un^k, le second en 1/Un : on peut tous de suite poser k=1 !
et on trouve Vn+1-Vn = (1/Un)*(1+Un/2+o(Un))-1/Un =1/2+o(1).
d'ou Vn =1/Un ~n/2, Un~2/n !
un autre exemple qui marche bien c'est Un+1 =sin(Un)...
mais la il faudrat poser Vn=1/Un²
dans le cas général voila quelque astuce :
dans les cas d'une suite Un qui tend vers 0 (si Un->a il faut etudiez Un-a ), sa ne s'applique que si f le DL de f est de la forme f(x) = x+a*x^k+o(x^k)
et dans ce cas, si je ne me trompe pas, il faut poser Vn=1/Un^(k-1) (à verifié)
mais on peut aussi comencer directement avec Vn=1/Un^u avec u quelconque et fixer u en cours de calcule...
c'ets plus claire ?
Oui merci, c le post que j'attendais. Ya t il une raison qui amene a poser vn=1/un^k ou c'est plutot le hasard ?
je sais pas trop si il y a une raison... mais si f est de la forme f(x) = x+a*x^(k+1)+...o(x^k+1), sa marchera toujours !
enfait la raison, est que Un ~a/n^(1/k), du coup en posant Vn=1/Un^k on tombe bien sur une suite dont ou pourra donnez un equivalent avec Cesaro.
NB : il faut bien noter la forme du f : f(x) = x+a*x^(k+1)+...o(x^k+1)
ce qu'il faut remarquer c'est f '(0)=1 ! en effet, si f '(0)<1 on a convergence géometrique vers la limite : dans ce cas l'equivalent va dependre du Uo.
et si f '(0) >1 alors on a un point fixe repulsif, dans ce cas impossible de parler d'equivalent ! (si Un converge c'est qu'elle est constante à partir d'un certain rang ... )
