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Equivalent d'une suite récurrente



  1. #1
    Gpadide

    Equivalent d'une suite récurrente


    ------

    Bonjour,

    j'ai étudié la suite définie par :



    Je trouve que sa limite est 1 ou +infini selon la position de u0. Maintenant je cherche a en trouver un equivalent en +infini.

    J'ai essayé pas mal de choses (passage a l'inverse, encadrement, trouver directement l'expression de u_n, trouver un equivalent de f(u_n+1) - f(u_n) ), mais rien ne vient.

    Auriez vous une piste et, plus généralement, de bons réflexes a avoir lorsque l'on nous demande un equivalent d'une suite quelconque ?
    Merci

    -----

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  3. #2
    Ledescat

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Bonjour, peux-tu nous dire ce que vaut u0 ?
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Il est quelconque. Comme on le voit en étudiant la suite, on peut le supposer strictement positif mais cela n'a pas d'importance. C'est juste que pour certaines valeurs (plus grand que un si je me souviens bien), la suite tend vers +inf..On se place dans ce cas.

  5. #4
    ericcc

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Comme ta suite tend vers +inf, tu peux éliminer le terme +1/2 de la formule de récurrence, cela devrait te donner une idée de l'équivalent.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    rvz

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Salut,

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message

    En général, quand on voit ça, la première chose à faire est de regarder les limites éventuelles, et un ensemble laissé stable par f. Ici par exemple R+.
    On voit que 1 est un point fixe et c'est le seul (racine double).

    Après, pour trouver des équivalents, on regarde une suite
    où g est une fonction à notre disposition.
    Ce qu'on aimerait avoir, c'est que
    . En effet, si on arrive à avoir ça, alors, en appliquant le théorème de Césaro à , on obtient que ie quand le passage aux équivalents va bien.

    Ce que tu veux sur g, c'est une autre histoire: on regarde en général du coté des fonctions puissances...

    Bon courage,
    __
    rvz

  8. #6
    rvz

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Comme ta suite tend vers +inf, tu peux éliminer le terme +1/2 de la formule de récurrence, cela devrait te donner une idée de l'équivalent.
    Effectivement, sinon tu peux regarder
    qui a vraiment une bonne tête.

    __
    rvz

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  10. #7
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    J'aimerais obtenir un truc comme le dit rvz mais cela ne marche pas avec votre suite, il ya encore v_n dans l'équivalent....J'ai aussi essayé de passer au log mais j'ai lamentablement échoué.

  11. #8
    Ledescat

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Bonjour, j'ai un peu réfléchi au sujet, et j'avoue que je sèche comme toi.
    Je pense que trouver des équivalents pour de telles suites peut s'avérer un vrai casse-tête.
    Rien que trouver un équivalent de la factorielle (qui a pourtant une relation de récurrence très simple) est périlleux!
    Pour en arriver à ~ , il faut s'accrocher . Et je ne pense pas que ta suite ait un équivalent simple, mais je peux certainement me tromper .
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    rvz

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    C'est juste une histoire de savoir quel terme domine. Ici, quand u_n tend vers l'infini, le terme 1/2 est négligeable devant le terme en u_n²/2, et donc tu peux t'attendre à ce que ta suite se comporte "en gros" comme si le terme constant 1/2 n'existait pas.

    __
    rvz

  13. #10
    Raa23

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Bonjour a tous
    Bon alors on pose Vn=(Un-1)/2
    on alors Vn+1=Vn + Vn^2
    Vn->infiny
    donc Vn+1 équivalent à Vn^2
    donc Vn equivalent a V0^(2^n)
    avec V0=(U0-1)/2
    enfin je pense

  14. #11
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    J'etais sur la meme piste, mais une fois qu'on a intuité ca, comment le prouver ?

  15. #12
    edpiste

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Comme , on obtient facilement une inégalité . Mais, posons . Alors, vérifie



    On remarque facilement que est positive, croissante...et tend vers l'infini ! Donc attention aux raisonnements avec équivalents.

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  17. #13
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Je trouve l'equivalent suivant : u_n = u_o^(2n)/2n, c'est ca ?

  18. #14
    homotopie

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Bonjour,
    il semble que l'on peut y arriver.
    On pose
    On a

    On encadre le reste par deux restes de série géométrique
    on a avec un reste (e arbitrairement petit si on prend n suffisamment grand)
    D'où converge vers ln(2)
    et converge vers 2.
    Un équivalent serait donc
    C'est à vérifier.

  19. #15
    erff

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Un truc qui peut etre payant est de trouver a un reel tel que :
    U(n+1)^a - U(n)^a tend vers un reel non nul...Apres, reste à faire Césaro.

  20. #16
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Je ne comprends pas ce passage, u_n tend vers +infini...

  21. #17
    homotopie

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Je ne comprends pas ce passage, u_n tend vers +infini...
    Peut-être parce qu'en fait c'est ln((1+1/(un)²)/2) et non ln((1+un²)/2).
    J'ai dit qu'il fallait vérifier, il y a aussi une énorme bourde à la fin.

  22. #18
    ericcc

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    En essayant sur Excel, on voit que le rapport Un/exp(2^n) tend vers zéro. Donc ce n'est pas le bon équivalent.

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  24. #19
    homotopie

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    En essayant sur Excel, on voit que le rapport Un/exp(2^n) tend vers zéro. Donc ce n'est pas le bon équivalent.
    Bien sûr et je l'ai dit j'ai fait une erreur aussi énorme que moi juste à la fin
    J'ai repris plus attentivement et par la voie que j'ai indiquée cela fonctionne (on a mieux qu'un équivalent) .
    Reprenons en posons en plus vn=un/2. v(n+1)=v(n)²+1/4
    wn=(1/2^n)ln(vn)

    On en déduit wn converge vers c avec
    (baisse d'un exposant pour la puissance de 2 suite à la somme)
    On multiplie par 2^n, puis on prend l'exponentielle, puis on multiplie par vn, puis par 2, on abotutit à :

  25. #20
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Voyons cela...

    U(n+1) = (Un² + 1)/2



    posons Vn =ln(Un)

    V(n+1) = ln((Un²+1)/2) = 2Vn+ln(1+1/(2Un²)) =2*Vn +1/(2Un²)+o(1/Un²)

    d'ou en posant Yn = Vn/(2^n)

    on a Y(n+1)-Y(n) =1/(Un²*2^(n+1))+1/(Un²*2^(n+1))

    bon, comme Un-> +infinit (tres rapidement de plus...) la serie de terme géneral 1/(Un²*2^(n+1))+1/(Un²*2^(n+1)) est absoluement convergente sans aucun probleme. (et va meme converger tres vite...)

    donc Yn converge, vers une limite noté k : Yn =k+o(1)

    mais ceci n'est pas suffisent pour conclure sur Un, pour cela il faudrait Yn=k+o(1/2^n)... ce qu'on ne va avoir aucun mal a obtenir , comme on la dit la serie va converge tres vite...

    on a U(n+1)>Un²/2, donc comme a partir d'un certain rang n, Un>4 par exemple : on va avoir (par une récurence imédiate) Un>2*2^(2^n)
    donc U(n+k) =O(2^(2^n))

    donc Y(n+1)-Yn = O(1/(2^(2^(n-k)+n+1) =o(1/2^n)

    donc par comparaison des restes de serie convergente, Yn=k+o(1/2^n)

    (le reste de la somme des 1/2^n est aussi en 2^n...)

    donc, on a bien Vn=k*2^n+o(1) et donc



    Vn=exp(Un) = exp(k2^n)exp(o(1)) ~ exp(k*2^n)

  26. #21
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    pour le cas ou Un->1 on est sensé etre un peu plus en teritoire connu je dirais...
    (cas d'un point fixe indiférent...) mais j'arrive plus a retrouver ce qu'il faut faire :S je vais y réfléchir encore un peu, ca me reviendra peut-etre...

  27. #22
    ericcc

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    On multiplie par 2^n, puis on prend l'exponentielle, puis on multiplie par vn, puis par 2, on abotutit à :
    Presque, en fait on trouve Un équivalent à 2eC2n. On le vérifie avec le rapport ln(Vn)/2n qui converge vers 0.31826...

  28. #23
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Sa y est, ca m'est revenu ! (mais comment est-ce que j'ai put oublier ca ! )


    donc on pose Vn=1-Un et on trouve V(n+1)=Vn-Vn²/2

    on va étudier 1/V(n+1)^k - 1/V(n)^k (k sera choisit ultérieurement...)


    1/(Vn+1)^k=1/Vn^k*(1/(1-Vn/2)^k)=1/Vn^k*(1+kVn/2+o(Vn) )

    donc 1/V(n+1)^k - 1/V(n)^k =kVn/2Vn^k+o(Vn/Vn^k)

    on voit donc qu'en prenant k=1 ou trouve :

    1/V(n+1)-1/V(n) =1/2+o(1)

    donc (Césaro) 1/V(n) ~n/2, et donc V(n)~2/n

    d'ou U(n)=1-2/n + o(1/n)

  29. #24
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Ok merci pour m'avoir rappelé cette methode efficace (poser k quelconque au lieu de tatonner). Mais la question de départ dans l'exo c'est l'equivalent en +infini...

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  31. #25
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    ba j'ai répondu deux message au dessu ^^

  32. #26
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    Voyons cela...

    U(n+1) = (Un² + 1)/2



    posons Vn =ln(Un)

    V(n+1) = ln((Un²+1)/2) = 2Vn+ln(1+1/(2Un²))

    Vérifie, moi dés le début je trouve pas ca...

  33. #27
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    hum oui tu as raison, faut enlever un 2 et rajouter un -ln2... mais ca change pas enormement la suite je pense... (enfin l'équivalent ne sera pas tous a fait le meme à la fin bien sur...)

  34. #28
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une suite récurrente

    Ca m'etonne qu'il faille aller chercher si compliqué tout de meme...

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