Somme de série définie à partir d'une suite récurrente

[Scorp]

Salut à tous. Voila un petit exo ou je bloque (mais je suis sûr que certains y arriveront les yeux fermés)
On commence par définir une suite telle que : , et
A partir de cette suite, on définit la série entière suivante :

Il s'agit ensuite de déterminer le rayon de convergence de cette série puis de calculer sa somme

Résolution : Pour le rayon, je pense que ca va, j'ai trouvé R=1, par contre, pour la somme je patoge. Comme je n'arrive pas a me ramener à des sommes connues, je pensais peut-être utiliser une équation différentielle, en trouver les solutions puis trouver celle qui coïncide avec f, c'est-à-dire vallant 0 pour x=0 (unicité avec le théoreme de Cauchy-Lipchitz ???). Mais je ne sais pas si ca marche, et je n'arrive pas de toute facon à trouver l'équa diff (heu...oui, je suis pas très fort avec les séries^^). Est ce que c'est comme ca qu'il faut faire, ou est ce qu'il faut utiliser une autre méthode ? laquelle ?
Voila, j'espère que je n'ai pas dit trop de bétises et merci à ceux qui répondront
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[GuYem]

Bonjour. Arriver à une équa diff me parait en effet une bonne idée.

Ce que je te conseille, c'est de dériver formellement ta f(x) = Somme(U_n . x^n), deux fois peut-être, et ensuite d'utiliser la formule de récurrence de ta suite U_n pour arriver à relier f et ses dérivées.

[ericcc]

je pense que dériver une fois suffit

[invite71b1f7de]

Bonsoir az tous

Je ne pense pas que la derivation soit necessaire...
La relation de recurrence etant linéaire , il suffit de prendre l'equation caracteristique .

On peut donc trouvré explicitement l'expression de U_n

Elle est de la forme :

U_n = Ae^r1 + Be^r2

A et B s'obtiennet grace aux conditions initiales

Ensuite la série se calcule tres facilement.... ( avec les verifications d'usages concernant le domaine de validité ! )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Bonsoir Akabus,

Tu vas un peu vite en besogne. Quelle est l'équation caractéristique ? Elle change quand n change...
Désolé, mais je crois que le calcul de la série est bien plus élégant qu'expliciter U_n qui n'a malheureusement pas l'air très simple.
Au passage, j'en profite pour signaler qu'une coquille s'est glissée dans ton dernier post. Tu attends bien sûr U de la forme
quand tu utilises des relations de dépendance linéaire à coefficients constants.

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rvz

[Scorp]

On peut donc trouvré explicitement l'expression de U_n

Effectivement, c'était une de mes idées. J'ai trouvé l'expression de , mais c'est un peu lourd. En plus, je ne savais pas si ce résultat s'appliquait avec des coefficients dépendant de n (comme l'a mentionné rvz). C'est pour ca que je me suis orienté vers l'équa diff. Mon problème est que j'utilise d'habitude cette méthode à l'envers, par exemple pour trouver la décomposition en série entière d'une certaine fonction. Là, on me demande de trouver la somme d'une série entière. Mais je n'arrive pas à trouver cette équa diff. Je tourne en rond. Quelque chose m'échappe, mais je ne sais pas quoi??? En fait, c'est le n qui arrive lors de la dérivation qui me gène :
Faut croire que les séries, c'est vraiment pas mon truc
Mais persévérance persévérance, j'arriverais bien a la trouver

[GuYem]

Re,

Le n qui arrive ne doit pas te faire peur, continue les calculs sans t'en soucier ; enfin sans l'oublier quand même !
Renumérote la série que tu as marqué, pour remettre une puissance à x. Cela va forcément décaler l'indice de U, qui deviendra surement U_n+1. C'est ce U_n+1 que tu remplaces par son expression en fonction de U_n et U_n-1 pour essayer de faire apparaitre f.

Courage, tu n'es pas loin, on pourrait te balancer la solution mais ça ne servirait à rien.

[ericcc]

Pour t'aider un peu plus : quelle est l'expression de xf(x) en série entière, et de x f'(x) ?

[invite2ec8adb6]

, je pensais peut-être utiliser une équation différentielle, en trouver les solutions puis trouver celle qui coïncide avec f, c'est-à-dire vallant 0 pour x=0 (unicité avec le théoreme de Cauchy-Lipchitz ???).

Intuitivement, comme ta relation de recurrence est d'ordre 2, ton equa diff le sera aussi. Il te faudra donc regarder 2 conditions pour appliquer C-L ( mais ce n'est pas grave, tu as U1).
A ce propos, je ne suis pas sur que f(0)=0

[GuYem]

Méfie toi bien Grey, je croyais ça aussi mais ce n'est pas toujours vrai.

Si tu as une relation de récurrence d'ordre n sur les coeffs, alors l'équa diff que tu obtiendras sur la fonction est AU PLUS de degré n.

Regarde sur cet exemple : récurrence d'ordre 2 et il semble que ericcc a dit que l'équa diff est de degré 1.
Moralité il doit surement y avoir du xf(x) ou xf'(x) dans l'équa diff comme l'a fait remarquer ericcc encore lui !

[Scorp]

Après avoir repris l'exo à tête reposée, je pense enfin avoir trouvé cette équa diff . D'ailleurs, je viens de voir qu'il y a une erreur dans mon énnoncé :
On pose et non pas 1. C'est pour ca que j'avais marqué f(0)=0.
Donc au final, je trouve l'équa diff suivante :

Bon, j'espère que c'est la bonne.
Merci de votre aide à tous

[GuYem]

Re,

Je trouve la même équa diff que toi.

C'est trés bien que tu aies fait cette manipulation toi même, même si ça t'a pris trois jours ! Au moins la prochaine fois, tu sauras que c'est possible et tu auras une idée de comment t'y prendre.

Encore une fois : une relation de récurrence sur les coeff U_n, ça donne une équa diff, et inversement.
Cependant l'ordre de cette relation de récurrence (2 ici) n'est pas toujours le même que le degré de l'équa diff obtenue (1 ici)

Essaye de faire la même chose avec U_0 = 1
et U_(n+1) = (n+1).U_n, tu devrais reconnaitre une certaine fonction à l'arrivée ...

[Scorp]

Essaye de faire la même chose avec U_0 = 1
et U_(n+1) = (n+1).U_n, tu devrais reconnaitre une certaine fonction à l'arrivée ...

Il me semble que la série entière associé à ta suite a un rayon de convergence nulle vu que la relation donne en fait . Je ne vois pas a quoi servirais l'équa diff ici.
Peut être voulais tu dire et la on obtiendrais la fonction exponentielle
Encore une petite question : Est-il possible de déterminer facilement d'après la relation de récurrence le degré éxacte de l'équa diff qu'on est censé obtenir. Ou au moins, a-t-on des conditions pour que le degré de l'équa diff soit exactement celui de la relation de récurrence ?
Par exemple, était-il possible ici de savoir facilement que l'équa diff serait de degré 1, et non pas 2 ?

[GuYem]

Re,

Evidemment je m'étais planté et tu as corrigé toi même.

Il n'y a pas vraiment de recette miracle pour déterminer le degré de l'équa diff sur laquelle on tombe. La bonne technique est de dériver f et de chercher à remplacer ce qu'on peut pour relier f' et f.

Si on n'y arrive pas avec f', on redérive un coup et on essaye de relier, f'', f' et f.

[invited40e5362]

Bonjour à tous je suis confronté à un probleme du même type. J'ai vraiment du mal avec les séries entières. Pourais tu m'éxpliquer comment tu à trouver ton rayon de convergence,stp?