Convergence et limite d'une suite récurrente

[invite7665427b]

Bonjour à tous,

Je suis désolé de poser une question aussi triviale mais je ne suis plus capable de prouver quelque chose qui me semblait facile il y a encore quelques années ...
Maintenant que je ne fais plus que de l'info j'ai un peu plus de mal avec les maths !

Je dois montrer qu'une suite récurrente converge :
x₀>0 x_n+1 = (1/2)(x_n+a/x_n)

Elle est toute simple, je sais déjà qu'elle converge vers racine(a).
Maintenant, je ne pense pas avoir le droit de résoudre l'équation f(x)=x, de trouver racine(a) et de dire que c'est la limite de la suite ?

Je ne sais plus du tout ce que je dois utiliser, théorème du point fixe (mais on n'est pas dans un intervalle fermé), théorème des gendarmes en minorant et majorant par des suites qui convergent vers racine(a) ??

Bref je ne me souviens plus du tout de la manière dont on procède !

Merci d'avance à qui pourrait me donner un coup de main !
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[invitef45cc474]

Salut.
La suite converge en effet vers racine de a. Pour le montrer, tu peux définir la fonction f par f(x)=(1/2)(x+a/x)
Tu as donc Un+1=f(Un).
f est croissante sur [sqrt(a), +oo[ (qui est stable par f) et tu as également f(x)<x. Par conséquent, si Uo appartient à [sqrt(a), +oo[ (Un) est minorée décroissante donc possède une limite l. Or (Un) et f(Un)=Un+1 ont même limite, donc f(l)=l et donc l=sqrt(a).
Après il suffit de remarquer que si Uo appartient à ]0,sqrt(a)[ alors U1=f(Uo) appartient à [sqrt(a), +oo[ donc on est ramené au cas précédent.

[invitec314d025]

Tout ceci en supposant que a >= 0, et en précisant que f est continue sur l'intervalle considéré.
Et on peut aussi utiliser le théorème du point fixe puisque f est contractante sur .

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Quand j'étais ch'tit on m'avait appris qu'une récurrence de la forme x_n+1 = f(x_n) ne se résolvait pas en cherchant x = f(x), mais que si la suite convergeait vers une limite l on avait nécessairement l = f(l).
Autrement dit, ça permet de démasquer la limite éventuelle, mais pas de prouver la convergence.
Pour ça, il faut des techniques à la Supernico (merci au passage de m'avoir rafraîchi la mémoire).

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7665427b]

Quand j'étais ch'tit on m'avait appris qu'une récurrence de la forme x_n+1 = f(x_n) ne se résolvait pas en cherchant x = f(x), mais que si la suite convergeait vers une limite l on avait nécessairement l = f(l).
Autrement dit, ça permet de démasquer la limite éventuelle, mais pas de prouver la convergence.
Pour ça, il faut des techniques à la Supernico (merci au passage de m'avoir rafraîchi la mémoire).
-- françois

Oui c'est ce qu'il me semblait également !

Merci pour vos réponses en tout cas, ça m'aide sérieusement !

Sinon, dire que la fonction f est contractante sur [racine(a); +infini[ c'est dire qu'il existe k appartenant à [0,1[ tq pour tout (x,y), |f(x)-f(y)| < k|x-y| c'est bien ça ?

Et si on réussit à montrer ça, alors ça veut dire que x_n+1 = f(x_n) converge vers l'unique point fixe "l" ?

C'est une solution bis si je comprends bien ?

[invite4ef352d8]

exactement.

[invite4ef352d8]

...


non en fait il faut aussi que la fonction soit stable sur l'interval ou elle est contractante.

[invite7665427b]

D'accord merci bien !

En fait en s'y remettant plus sérieusement je crois que ça doit revenir un peu tout de même les maths !

[invite52c52005]

Dire que la fonction f est contractante sur [racine(a); +infini[ c'est dire qu'il existe k appartenant à [0,1[ tq pour tout (x,y), |f(x)-f(y)| < k|x-y| c'est bien ça ?

Oui, c'est un cas particulier des fonctions k-lipschitziennes (pour lesquelles le k est strictement positif)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_lipschitzienne

Et si on réussit à montrer ça, alors ça veut dire que x_n+1 = f(x_n) converge vers l'unique point fixe "l" ?

Oui, en appliquant le théorème du point fixe (comme l'a signalé matthias) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...fixe_de_Picard