Bonjour, voila un exo que je n'arrive pas a résoudre et qui, je suis sur, va bcp plaire a KSilver (: :
Donner un équivalent en zero de :
J'ai essayé de dvper en serie entiere, puis d'intervertir les sommes mais c'est un bide. Je n'ose pas trop la comparaison serie/intégrale car ca a pas l'air simpas a intégrer...
Bonjour,
en première intuition je tenterai tout de même la comparaison série/intégrale sachant que les régles de bioche s'appliquent aussi pour les fonctions trigo hyperboliques (mais je ne suis même pas sur que ce soit utile).
Cordialement
Nox
Edit : en fait j'ai du raconter des betises ...
Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.
Le sh s'exprime très simplement en fonction de l'exponentielle.. Pourquoi ne pas en profiter ?
"Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)
En fait, j'ai persisté avec l'intégrale et je trouve 1/sh(x)+ ln(x) pour equivalent...(j'ai fait un changement de variable ch pour intégrer, un peu genre regle de Bioche en effet)
Salut !
effectivement la comparaison intégral marche bien... il faut retier le premier terme de la serie, encadrer entre intégral de de 1 a +inf et intégral de 2 a +inf et 1/sh(xt) dt
la a partir d'une primitive de 1/sh(x) (on peut, on doit meme, s'inspirer de celle de 1/sin...) on calcule explicitement les deux intégrals et on vérfie qu'elles sont équivalent a -lnx /x toute les deux. et comme 1/sh(x) est négligeable devant -lnx/x, on a bien S(x) ~ - lnx /x en 0 !
Peut on en déduire rapidement un équivalent de la meme somme, mais avec des sh² ? Ou faut il tout recommencer ?
avec les 1/sh² la démarche va etre différente, dans ce cas prendre un équivalent "terme a terme" donnent un résultat c'est donc a priori le bon. A mon avi il faut faut former la différence antre la somme des 1/sh²(nx) et la somme des 1/(nx)² et la majorer ou montrer qu'elle converge en 0...
Je ne comprends pas cet argument. En quoi n'etait-ce pas le cas pour le sh sans carré ?Envoyé par Ksilver
ba dans le cas sans le caré si on prend les équivalent termes a terme on a somme des 1/(nx), donc 1/x*somme des 1/n mais comme la serie des 1/n est divergente tous ce que ca nous dit c'est que a priori l'équivalent va etre un peu plus gros que A/x (et c'est effectivement ce qu'on trouve, -ln x/x c'est juste ou tous petit peu plus que A/x), ici en prenant les équivalent termes a terme on a une belle série convergene donc ca a des chance de marcher
(bien entendu tous ceci n'est qu'une étude "aproximative" qui permet juste de "sentir" un peu ce qui ce passe, ca ne prouve rien du tous ^^ )
ici c'est meme enore plus simple que ce que je pensais, vu que la fonction obtenue en prenant les équivalent termes a terme est tres simple on a meme pas bessoin d'étudier l'ecart entre la serie des fonctions et la séries des équivalent, il suffit de tous multiplier par x² !
S(x) = somme des 1/sh²(nx)
X²*S(x) = somme des x²/sh²(nx)
chaque terme tend vers 1/n², il suffit donc de justifier la permutation somme/limite pour avoir x²S(x) ->Pi²/6, et donc S(x) ~Pi²/6x²
et il ce trouve qu'en plus x²/sh²(nx)< 1/n² donc il y a convegene normale de la série !
Comment t'as fait pour voir ca si vite , on est obligé d'etudier la fonction ou il y a plus simple ?
Comment t'as fait pour voir ca si vite>>>enfait... j'ai tracer la courbe sur l'ecran de ma calculatrice tous simplement
mais pour le montrer c'est assez simple, il suffit de savoir que pour x positif, sh x >x (et ca c'est pas trop dur... soit en comparant les dérivé, soit en regardant la serie entière de sh , soit en utilisant la convéxité de sh sur [0,+infinit[ ...)
