Bonjour, voila un exo que je n'arrive pas a résoudre et qui, je suis sur, va bcp plaire a KSilver (: :
Donner un équivalent en zero de :
J'ai essayé de dvper en serie entiere, puis d'intervertir les sommes mais c'est un bide. Je n'ose pas trop la comparaison serie/intégrale car ca a pas l'air simpas a intégrer...
Bonjour,
en première intuition je tenterai tout de même la comparaison série/intégrale sachant que les régles de bioche s'appliquent aussi pour les fonctions trigo hyperboliques (mais je ne suis même pas sur que ce soit utile).
Cordialement
Nox
Edit : en fait j'ai du raconter des betises ...
Le sh s'exprime très simplement en fonction de l'exponentielle.. Pourquoi ne pas en profiter ?
En fait, j'ai persisté avec l'intégrale et je trouve 1/sh(x)+ ln(x) pour equivalent...(j'ai fait un changement de variable ch pour intégrer, un peu genre regle de Bioche en effet)
Salut !
effectivement la comparaison intégral marche bien... il faut retier le premier terme de la serie, encadrer entre intégral de de 1 a +inf et intégral de 2 a +inf et 1/sh(xt) dt
la a partir d'une primitive de 1/sh(x) (on peut, on doit meme, s'inspirer de celle de 1/sin...) on calcule explicitement les deux intégrals et on vérfie qu'elles sont équivalent a -lnx /x toute les deux. et comme 1/sh(x) est négligeable devant -lnx/x, on a bien S(x) ~ - lnx /x en 0 !
Peut on en déduire rapidement un équivalent de la meme somme, mais avec des sh² ? Ou faut il tout recommencer ?
avec les 1/sh² la démarche va etre différente, dans ce cas prendre un équivalent "terme a terme" donnent un résultat c'est donc a priori le bon. A mon avi il faut faut former la différence antre la somme des 1/sh²(nx) et la somme des 1/(nx)² et la majorer ou montrer qu'elle converge en 0...
Je ne comprends pas cet argument. En quoi n'etait-ce pas le cas pour le sh sans carré ?Envoyé par Ksilver
ba dans le cas sans le caré si on prend les équivalent termes a terme on a somme des 1/(nx), donc 1/x*somme des 1/n mais comme la serie des 1/n est divergente tous ce que ca nous dit c'est que a priori l'équivalent va etre un peu plus gros que A/x (et c'est effectivement ce qu'on trouve, -ln x/x c'est juste ou tous petit peu plus que A/x), ici en prenant les équivalent termes a terme on a une belle série convergene donc ca a des chance de marcher
(bien entendu tous ceci n'est qu'une étude "aproximative" qui permet juste de "sentir" un peu ce qui ce passe, ca ne prouve rien du tous ^^ )
ici c'est meme enore plus simple que ce que je pensais, vu que la fonction obtenue en prenant les équivalent termes a terme est tres simple on a meme pas bessoin d'étudier l'ecart entre la serie des fonctions et la séries des équivalent, il suffit de tous multiplier par x² !
S(x) = somme des 1/sh²(nx)
X²*S(x) = somme des x²/sh²(nx)
chaque terme tend vers 1/n², il suffit donc de justifier la permutation somme/limite pour avoir x²S(x) ->Pi²/6, et donc S(x) ~Pi²/6x²
et il ce trouve qu'en plus x²/sh²(nx)< 1/n² donc il y a convegene normale de la série !
Comment t'as fait pour voir ca si vite , on est obligé d'etudier la fonction ou il y a plus simple ?
Comment t'as fait pour voir ca si vite>>>enfait... j'ai tracer la courbe sur l'ecran de ma calculatrice tous simplement
mais pour le montrer c'est assez simple, il suffit de savoir que pour x positif, sh x >x (et ca c'est pas trop dur... soit en comparant les dérivé, soit en regardant la serie entière de sh , soit en utilisant la convéxité de sh sur [0,+infinit[ ...)
