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Equivalent d'une Intégrale en zero.



  1. #1
    Gpadide

    Equivalent d'une Intégrale en zero.


    ------

    Bonjour, je cherche a trouver une équivalent de f en 0+, où :



    J'ai déja vérifié qu'elle est bien définie et continue sur ]0,1[, j'espere que c'est le cas !

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  4. #2
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une Intégrale en zero.

    Salut !


    ouai c'est exacte.


    pour l'équivalent, je te proposerai d'essayer ceci (j'ai pas fait les calcules, donc je me trompe peut-etre, mais de tete sa a l'air de marcher...)


    fait le changement de variable t -> 1/t

    tu tombe sur une intégrale entre 0 et +inf de t^a/(t*(t+1)) ou un truc du genre. la on voit que la parti de l'intégral [1,+inf[ reste borné quand t->+inf (th de conv dominé par exemple), il te reste donc à étudier le comportement de l'intégral entre 0 et 1.


    et la c'est assez simple, le 1/(t*(t+1)) tu le decompose en élement simple, tu as un terme en t^(a-1) que tu peut calculer : 1/a, et un autre terme, dont on doit pouvoir justifier simplement qu'il est borné quand a->0 (encore convergence dominé j'imagine ? )

    et donc f serait équivalent a 1/a en zero.



    au fait, c'est un exo qui viens d'ou ? c'est un sujet d'oral ?

  5. #3
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une Intégrale en zero.

    Merci je vais essayer, mais n'y aurait il pas moyen d'utiliser un truc du genre intégration des relations de comparaison ?
    Pour l'exo je pense que c'est un oral mais je sais pas lequel (il vient de mon prof).

  6. #4
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une Intégrale en zero.

    non pas vraiment, les intégrations de relation de comparaison s'utilise plutot quand tu fait tendre une des bornes de l'intégrales vers une singularité de la fonction (ou vers +inf)

    genre : recherche d'un equivalent de intégral de 0 a x de exp(t²) quand x->+infinit

    pour des intégrales à bornes fixe on peut pas vraiment les utiliser... ( enfin sauf changement de variable permettant de ce ramener a des bornes mobile...)

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  8. #5
    Gpadide

    Re : Equivalent d'une Intégrale en zero.

    J'ai essayé mais je bloque. Pour la décomposition en éléments simple j'ai un coefficient du genre :

    De plus j'aimerais savoir comment t'est venue l'idée du changement de variable plus de séparer les intégrales: c'est une méthode générale ?

  9. #6
    Ksilver

    Re : Equivalent d'une Intégrale en zero.

    le changement de variable euh...un peu au pif en fait

    disont que avec le t^a au dénominateur, et le faitque les bornes etait 0 et +inf, je me suis dit que au pire "sa compliquera pas les choses" alors autant regarder ce que ca donne ^^


    apres coup, c'est vrai que en regardant sans rigeur, quand on regarde l'intégral, si on fait tendre a vers 0, on a l'intégral de 1/(t+1), qui diverge en +inf... donc la "parti principale" de l'intégral est plutot sur [1,+inf[... en faisant le changement de variable t->1/t on ramene [1,+inf[ sur [0,1], et c'est toujour plus facile d'étudiez une intégrale sur un segement que sur R+ ^^



    sinon, je parlais du dévelopement en element simple de 1/(t(t+1)) seulement, le t^a tu y touche pas (faudrait a entier pour pouvoir le déveloper aussi ^^ )

    donc tu sépare juste 1/(t(t+1) = (1/t)-1/(t+1)
    tu as donc l'intégral de de t^(a-1) d'un coté, et celle de t^a/(t+1)

    mais attention, tu n'as le droit de faire cette séparation que sur la parti entre 0 et 1 de l'intégral, su la parti [1,+inf[ ca serait faux car on obtiendrai deux intégral divergente... (mais comme je te l'ai dit, on commence par vérifier que la parti [1,+inf[ reste borné quand a->0...

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