Suite et Césaro

**Bloud** · 13/02/2006, 15h19

Salut!
Je suis en train d'essayer de prouver le théorème barycentrique de Césaro dans le cas où les coefficients sont des coefficients binomiaux. J'ai déjà réussi à le prouver dans le cas simple où tous les coefficients sont égaux à 1 mais là je bloque.
Bon, pour rappel on a une suite $\text{[math]}$ qui converge vers $\text{[math]}$

Mon but est de prouver que la suite $\text{[math]}$ définie par :
$\text{[math]}$
converge également vers $\text{[math]}$ .

Mais pour cela j'aurai besoin de majorer efficacement pour $\text{[math]}$ fixé le terme :

$\text{[math]}$

ou plus, précisément, il faudrait que je montre que ce terme tend vers zéro quand $\text{[math]}$ .

Je n'y arrive pas. Si vous pouviez me donner une indication.
Merci d'avance.

**Bloud** · 13/02/2006, 15h28

En fait l'idéal, ce serait que vous m'indiquiez un indice pour montrer que :

$\text{[math]}$

Je vois bien que le terme général est toujours strictement inférieur à 1 mais après je bloque...

**Bloud** · 13/02/2006, 15h35

Toutefois je préférerais ne pas avoir à utiliser cette limite si c'est possible. J'aimerai plutôt prouver qu'il existe un entier naturel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ implique que le terme de mon premier post est inférieur à un $\text{[math]}$ réel strictement positif fixé.

**Bloud** · 13/02/2006, 16h01

Envoyé par Bloud

Toutefois je préférerais ne pas avoir à utiliser cette limite si c'est possible. J'aimerai plutôt prouver qu'il existe un entier naturel $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ implique que le terme de mon premier post est inférieur à un $\text{[math]}$ réel strictement positif fixé.

N'importe quoi! Déterminer qu'il y a une limite revient exactement à trouver ce $\text{[math]}$

Ce que je voulais dire, c'est que je préferais ne pas avoir à utiliser des limites connues pour déterminer celle-là. Je voudrais la déterminer "directement". J'espère que je me suis fait comprendre...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**indian58** · 13/02/2006, 18h51

Si je ne me trompe pas, la borne N de ta somme partielle ne bouge pas durant le passge à la limite. Dans ce cas, tu n'as
qu'à chercher une majoration de $\text{[math]}$

invite554bd987 · 13/02/2006, 19h38

le truc qui serait bien a faire c'est d'ecrire

$\text{[math]}$ en extension et a toi apres de deduire...

**shokin** · 13/02/2006, 19h53

Cette limite ne tendrait-elle pas vers 1 plutôt que vers 0.

Étant donné qu'on a une somme de termes strictement positifs.

Shokin

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h00

non en fait je pense que vous confondez le

n avec le N

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h09

sinon moi je dirai que

$\text{[math]}$ tend plutot vers l'infini

**matthias** · 13/02/2006, 20h19

Etant donné qu'elle est inférieure ou égale à 1 pour n >= N, je ne pense pas qu'elle tende vers l'infini.

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h26

meme si on l'ecrit en extension?

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h28

car en fait on aura des termes de la forme n!/2^n ce qui tend vers + l'infini?

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h30

non excusez moi.. en fait j'ai compris l'erreur et ca tend bien vers 0 car quand on l'ecrit en extension on aura des termes de la forme 1/n!*2^n

**Bloud** · 13/02/2006, 20h31

Envoyé par EEW

le truc qui serait bien a faire c'est d'ecrire

$\text{[math]}$ en extension et a toi apres de deduire...

En extension ? Désolé de mon ignorance mais tu pourrais préciser ?

Par contre il y en qui ont eu l'air de sous-entendre que ma limite n'est pas égale à zéro ce qui serait drôlement embêtant : ça voudrait dire que le théorème barycentrique de Césaro ne fonctionne pas dans le cas des coefficients binômiaux or je crois bien qu'il n'y a pas de restriction (enfin si, il faut que la limite de la somme des coefficients soit $\text{[math]}$ ce qui est le cas ici)

**matthias** · 13/02/2006, 20h35

Envoyé par EEW

meme si on l'ecrit en extension?

????????

Ma remarque est basée sur la simple observation de l'identité classique:

$\text{[math]}$

donc pour n > N:

$\text{[math]}$

les coefficients étant tous positifs.

Envoyé par shokin

Cette limite ne tendrait-elle pas vers 1 plutôt que vers 0.

Étant donné qu'on a une somme de termes strictement positifs.

Une somme finie de termes qui dépendent de n puisque la limite se calcule à N fixé. Si tous les termes tendent vers 0, la somme tend vers 0.

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h35

ecrire en extension c'est en fait développer ta somme

**Bloud** · 13/02/2006, 20h36

Envoyé par indian58

Si je ne me trompe pas, la borne N de ta somme partielle ne bouge pas durant le passge à la limite. Dans ce cas, tu n'as
qu'à chercher une majoration de $\text{[math]}$

J'ai déjà pensé à ça (j'avais remarqué que mon $\text{[math]}$ ne bouge pas pendant mon passage à la limite). Seulement, je n'ai pas trouvé de majorant "efficace".

invite554bd987 · 13/02/2006, 20h42

en fait si tu l'a deja fait tu remarques que tous les termes de ta somme/2^n sont de la forme 1/n!*2^n à N fixé.. ainsi tous ces termes tendent vers 0 donc ta somme/2^n aussi..

**shokin** · 13/02/2006, 20h50

La somme des C de k parmi n, k allant de 0 à n, n'est-elle pas toujours égale à 2^n ?

Par exemple, 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5.

mais si j'ai confondu n et N, qu'est N ? un réel déterminé et fixe ?

Si N < n, alors C de k parmi n, k allant de 0 à N, cette somme est strictement inférieur à 2^n donc la fraction est strictement inférieure à 1 (si je ne me trompe) et la limite aussi.

Mais alors tend-elle vers un réel ?

Et si on essayait avec N = 1, puis avec N = 2.

Shokin

**Bloud** · 13/02/2006, 20h56

Quand tu dis ça je suis d'accord. Mais même après avoir développé, je ne vois pas d'où tu sors la forme de ces termes en fait. Là est mon problème...
Par exemple, à un n donné, le dernier terme de ma somme est :

$\text{[math]}$ .

Je ne "vois" pas la forme dont tu m'as parlé. Pourrais-tu développer stp ?

**matthias** · 13/02/2006, 20h58

Envoyé par Bloud

Seulement, je n'ai pas trouvé de majorant "efficace".

Pour n supérieur ou égal à 2N, ton plus grand coefficient sera $\text{[math]}$ . Ce coefficient peut s'écrire sous la forme d'un produit de N facteurs tous inférieurs à n/N!.
Quand tu divises par 2ⁿ, tu peux aussi essayer de le découper en N facteurs (en utilisant la division euclidienne de n par N par exemple). C'est pas très beau mais ça doit marcher.

**matthias** · 13/02/2006, 20h59

Envoyé par Bloud

Par exemple, à un n donné, le dernier terme de ma somme est :

$\text{[math]}$ .

Tu n'aurais pas inversé quelque chose ? Le n! devrait être en haut ...

**Bloud** · 13/02/2006, 21h00

Pour répondre à Shokin, $\text{[math]}$ est défini dans mon premier post.

**Bloud** · 13/02/2006, 21h01

A Matthias : c'était un bug avec Tex, j'ai corrigé

**matthias** · 13/02/2006, 21h02

Envoyé par Bloud

A Matthias : c'était un bug avec Tex, j'ai corrigé

Par bug, on doit comprendre une erreur humaine bien compréhensible ?

**Bloud** · 13/02/2006, 21h07

Tout à fait !

**matthias** · 13/02/2006, 21h09

Envoyé par matthias

Ce coefficient peut s'écrire sous la forme d'un produit de N facteurs tous inférieurs à n/N!.

Il fallait lire : produit de 1/N! par N facteurs inférieurs à n.

**Bloud** · 13/02/2006, 21h11

Par contre pour revenir au message où tu parles de majorant, je comprends que $\text{[math]}$ est le plus grand coefficient pour $\text{[math]}$ , par contre je ne suis plus quand tu dit le coefficent peut s'écrire sous la forme de N facteurs...etc. Tu peux m'éclairer stp ? Si ça se trouve c'est trivial mais là, je suis vraiment trop fatigué

.

EDIT : même après ton nouveau message, je ne comprends pas.

**matthias** · 13/02/2006, 21h17

Envoyé par Bloud

Par contre pour revenir au message où tu parles de majorant, je comprends que $\text{[math]}$ est le plus grand coefficient pour $\text{[math]}$

2N pas N.
Cela vient bien sûr du fait qu'à n fixé le maximum des C(n;k) est obtenu pour k=E(n/2), que la suite est croissante avant, décroissante après.

Envoyé par Bloud

par contre je ne suis plus quand tu dit le coefficent peut s'écrire sous la forme de N facteurs...etc. Tu peux m'éclairer stp ? Si ça se trouve c'est trivial mais là, je suis vraiment trop fatigué

.

Il suffit d'écrire n!/(n-N)! sous la forme d'un produit.

**Bloud** · 13/02/2006, 21h25

Oui 2N, évidemment! Sinon, ok je vois ce que tu veux dire, mais pourquoi dis-tu qu'il y a N facteurs. Moi j'en vois n-N. Où est mon erreur ?

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