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[MPSI] équivalents démo via Cesaro



  1. #1
    Romain-des-Bois

    [MPSI] équivalents démo via Cesaro


    ------

    Bonjour,

    j'ai un problème dans une démo...

    on veut montrer que
    (n!)(1/n) ~ n/e en plus l'infini.

    on doit donc montrer que :
    (n! / (nn) )(1/n) -> 1/e

    et alors là, j'ai écrit :
    si on pose :
    un = n! / (nn)

    il suffit de montrer que un+1 / un -> 1/e

    (je ne comprends pas pourquoi)

    puis en utilisant le théorème de Cesaro (version Géométrique), on montre cette limite en disant (un)(1/n) -> 1/e (mais pourquoi ?)


    merci de m'aider

    Romain

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    Il se situe où ton problème ?
    Sur le théorème de Césaro version géométrique ou sur la limite de U(n+1)/U(n) ?

  4. #3
    Ksilver

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    est-ce que tu arrive a montrer que Un+1/Un -> 1/e ?


    sinon pour le 2e probleme c'est tres simple :

    si Un+1/Un -> 1/e

    alors ln Un+1 - ln Un - > -1
    d'ou par le th de Cesaro (normale)
    ln Un /n tend vers -1

    on repasse a l'exponentielle Un^(1/n)->exp(-1)= 1/e

  5. #4
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    Bon, j'ai compris pourquoi il suffit de montrer que un+1 / un -> 1/e.

    mais comment le montre-t-on ?

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ksilver

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    il suffit d'ecrire :

    Un+1/Un = (n+1) *n^n/(n+1)^(n+1) = (n/(n+1)^n

    Un/Un+1 = (1+1/n)^n et sa tu doit savoir que sa tend vers e (et si tu le sait pas il suffit de mettre sous forme exponentielle et c'est un bete taux d'accroisement)

  8. #6
    matthias

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    et

    sont vraiment des limites à connaître (l'une découlant directement de l'autre). On les retrouve souvent.

    Pour la démonstration, tu passes à la forme exponentielle come le dit Ksilver (ou tu prends le log c'est pareil).
    Ensuite tu as le choix suivant tes connaissances
    - Développements limités, ou utilisation des équivalents classiques (pour le ln(1+1/n))
    - changement de variable en X = 1/x, et interprétation en limite de taux d'accroissement (donc dérivée).
    - etc

    Un exemple d'exercice où apparaît cette suite (et qui devrait te rappeler quelque chose) : http://forums.futura-sciences.com/thread33872.html

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  10. #7
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] équivalents démo via Cesaro

    Citation Envoyé par Ksilver
    Un/Un+1 = (1+1/n)^n et sa tu doit savoir que sa tend vers e

    OK !!!

    En fait, dans mon cours, j'ai pas mis les bonnes références à côté des bonnes lignes...

    merci beaucoup

    Romain

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