Bonjour,
j'ai un problème dans une démo...
on veut montrer que
(n!)(1/n) ~ n/e en plus l'infini.
on doit donc montrer que :
(n! / (nn) )(1/n) -> 1/e
et alors là, j'ai écrit :
si on pose :
un = n! / (nn)
il suffit de montrer que un+1 / un -> 1/e
(je ne comprends pas pourquoi)
puis en utilisant le théorème de Cesaro (version Géométrique), on montre cette limite en disant (un)(1/n) -> 1/e (mais pourquoi ?)
merci de m'aider
Romain
Il se situe où ton problème ?
Sur le théorème de Césaro version géométrique ou sur la limite de U(n+1)/U(n) ?
est-ce que tu arrive a montrer que Un+1/Un -> 1/e ?
sinon pour le 2e probleme c'est tres simple :
si Un+1/Un -> 1/e
alors ln Un+1 - ln Un - > -1
d'ou par le th de Cesaro (normale)
ln Un /n tend vers -1
on repasse a l'exponentielle Un^(1/n)->exp(-1)= 1/e
Bon, j'ai compris pourquoi il suffit de montrer que un+1 / un -> 1/e.
mais comment le montre-t-on ?
merci
il suffit d'ecrire :
Un+1/Un = (n+1) *n^n/(n+1)^(n+1) = (n/(n+1)^n
Un/Un+1 = (1+1/n)^n et sa tu doit savoir que sa tend vers e (et si tu le sait pas il suffit de mettre sous forme exponentielle et c'est un bete taux d'accroisement)
et
sont vraiment des limites à connaître (l'une découlant directement de l'autre). On les retrouve souvent.
Pour la démonstration, tu passes à la forme exponentielle come le dit Ksilver (ou tu prends le log c'est pareil).
Ensuite tu as le choix suivant tes connaissances
- Développements limités, ou utilisation des équivalents classiques (pour le ln(1+1/n))
- changement de variable en X = 1/x, et interprétation en limite de taux d'accroissement (donc dérivée).
- etc
Un exemple d'exercice où apparaît cette suite (et qui devrait te rappeler quelque chose) : http://forums.futura-sciences.com/thread33872.html
Envoyé par Ksilver
OK !!!
En fait, dans mon cours, j'ai pas mis les bonnes références à côté des bonnes lignes...
merci beaucoup
Romain
