"Réciproque" de Cesaró

[invitee9dcae4d]

Bonjour,
je cherche une condition supplémentaire pour obtenir une espèce de réciproque de Cesaró. Si la moyenne de Cesaró de la suite U_n, U_n réel, converge et si .... , alors la suite U_n converge.
J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité. de Cauchy suffirait?
Je n'ai pas encore trouvé d'idée...

Merci!
-----

[invite03f2c9c5]

Pour une suite à valeurs réelles, si elle est de Cauchy, alors elle converge… Alors bien sûr, être de Cauchy suffit !

Maintenant, je ne vois pas immédiatement de condition simple qui en conjonction avec la convergence en moyenne de Cesàro, entraînerait la convergence tout court ; cela dit, je n'ai jamais réfléchi à cette question !

[invitee9dcae4d]

Oui c'est très malin ce que j'ai écrit là

[invite03f2c9c5]

Bon, l'idée est que ta suite ne doit pas trop osciller… Par exemple, pour une suite monotone, c'est assez facile de voir que la convergence en moyenne entraîne la convergence tout court.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c3ff3cc]

J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité

Si u(n) est > 0 et décroissante ça marche par exemple

[invite4ef352d8]

Je doute qu'on puisse dire qqch de trés géneral. il faut pouvoir montrer que la suite converge et on sais alors que ca limite est égal à sa limite de Césaro.

mais converger en moyenne de césaro est qqch de vraiment beaucoup plus faible que converger. et je doute qu'il y aie aucun théorème qui permette de "remonter".

[invite9cf21bce]

Bonjour,
je cherche une condition supplémentaire pour obtenir une espèce de réciproque de Cesaró. Si la moyenne de Cesaró de la suite U_n, U_n réel, converge et si .... , alors la suite U_n converge.
J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité. de Cauchy suffirait?
Je n'ai pas encore trouvé d'idée...

Merci!

Salut.

Certains théorèmes "taubériens" donnent des conditions suffisantes pour avoir la réciproque. Voir le Rudin d'analyse fonctionnelle.

Voici un exemple parlant (?)

Soit f périodique et localement intégrable. On note S_n(f) la n^e somme partielle de sa série de Fourier et s_n(f) la n^e moyenne de Cesàro de la suite (S_n(f))_n.

Alors sous la condition de Hardy : , où désigne le n^e coefficient de Fourier, , on a équivalence en tout point t entre :

(S_n(f)(t))_n converge
et
(s_n(f)(t))_n converge

C'est un résultat fort pour étudier la convergence de la série de Fourier en des points, et non plus en norme L² ou autre. En effet, la suite des s_n(f) offre des conditions de régularité qui la rendent plus sympa à étudier que la suite des S_n(f).

Je cherche des références sur le Net, mais tout cours avancé sur les séries de Fourier doit convenir.

Taar.

[invitee9dcae4d]

Merci à tous ! ; )

[invite7536172]

Bonjour,
Je dois montrer que si la série de terme général un converge au sens de Cesaro et que lim n.un = 0 alors la série est convergente, comment m'y prendre?
Merci beaucoup