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"Réciproque" de Cesaró



  1. #1
    eSb`

    "Réciproque" de Cesaró


    ------

    Bonjour,
    je cherche une condition supplémentaire pour obtenir une espèce de réciproque de Cesaró. Si la moyenne de Cesaró de la suite Un, Un réel, converge et si .... , alors la suite Un converge.
    J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité. de Cauchy suffirait?
    Je n'ai pas encore trouvé d'idée...

    Merci!

    -----

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  3. #2
    DSCH

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Pour une suite à valeurs réelles, si elle est de Cauchy, alors elle converge… Alors bien sûr, être de Cauchy suffit !

    Maintenant, je ne vois pas immédiatement de condition simple qui en conjonction avec la convergence en moyenne de Cesàro, entraînerait la convergence tout court ; cela dit, je n'ai jamais réfléchi à cette question !
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  4. #3
    eSb`

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Oui c'est très malin ce que j'ai écrit là

  5. #4
    DSCH

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Bon, l'idée est que ta suite ne doit pas trop osciller… Par exemple, pour une suite monotone, c'est assez facile de voir que la convergence en moyenne entraîne la convergence tout court.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ThSQ

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Citation Envoyé par eSb` Voir le message
    J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité
    Si u(n) est > 0 et décroissante ça marche par exemple

  8. #6
    Ksilver

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Je doute qu'on puisse dire qqch de trés géneral. il faut pouvoir montrer que la suite converge et on sais alors que ca limite est égal à sa limite de Césaro.

    mais converger en moyenne de césaro est qqch de vraiment beaucoup plus faible que converger. et je doute qu'il y aie aucun théorème qui permette de "remonter".

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  10. #7
    Taar

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Citation Envoyé par eSb` Voir le message
    Bonjour,
    je cherche une condition supplémentaire pour obtenir une espèce de réciproque de Cesaró. Si la moyenne de Cesaró de la suite Un, Un réel, converge et si .... , alors la suite Un converge.
    J'imagine que la suite doit avoir une certaine régularité. de Cauchy suffirait?
    Je n'ai pas encore trouvé d'idée...

    Merci!
    Salut.

    Certains théorèmes "taubériens" donnent des conditions suffisantes pour avoir la réciproque. Voir le Rudin d'analyse fonctionnelle.

    Voici un exemple parlant (?)

    Soit f périodique et localement intégrable. On note Sn(f) la ne somme partielle de sa série de Fourier et sn(f) la ne moyenne de Cesàro de la suite (Sn(f))n.

    Alors sous la condition de Hardy : , où désigne le ne coefficient de Fourier, , on a équivalence en tout point t entre :

    (Sn(f)(t))n converge
    et
    (sn(f)(t))n converge

    C'est un résultat fort pour étudier la convergence de la série de Fourier en des points, et non plus en norme L2 ou autre. En effet, la suite des sn(f) offre des conditions de régularité qui la rendent plus sympa à étudier que la suite des Sn(f).

    Je cherche des références sur le Net, mais tout cours avancé sur les séries de Fourier doit convenir.

    Taar.

  11. #8
    eSb`

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Merci à tous ! ; )

  12. #9
    invite7536172
    Invité

    Re : "Réciproque" de Cesaró

    Bonjour,
    Je dois montrer que si la série de terme général un converge au sens de Cesaro et que lim n.un = 0 alors la série est convergente, comment m'y prendre?
    Merci beaucoup

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