Défi

[invite08db0895]

bjr mon prof a lancé un défi a toute la classe
est ce que quelkun pouré mé donner dé pistes merci davance
montrer que 43^43^-17^17 est divisible par 10

bonne chance
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[danyvio]

En langue française, ça donne quoi ?

[manonmg]

c'est faicle parce que 43^43 et 17^17 donneront toujours un nombre divisible par 10

[invite2220c077]

43 = 3 [10] => 43^43 = 3^43 [10]
17 = -3[10] => 17^17 = -3^17[10]

D'où 43^43 - 17^17 = 3^17(3^26 + 1) [10]

Or 3² = -1[10] => 3^26 = -1[10] <=> 3^26 + 1 = 0 [10] <=> 3^17(3^26 + 1) = 0[10] et ainsi, par transitivité, nous avons bien 43^43 - 17^17 = 0[10].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite08db0895]

43 = 3 [10] => 43^43 = 3^43 [10]
17 = -3[10] => 17^17 = -3^17[10]

D'où 43^43 - 17^17 = 3^17(3^26 + 1) [10]

Or 3² = -1[10] => 3^26 = -1[10] <=> 3^26 + 1 = 0 [10] <=> 3^17(3^26 + 1) = 0[10] et ainsi, par transitivité, nous avons bien 43^43 - 17^17 = 0[10].

merci mais en fait j'ai pas encore vu cette méthode je suis quen seconde mais jai trouvé une autre technique merci quand meme

[invite2220c077]

Tu pourrais la poster ?

[invite35452583]

Puisque le défi a été relevé on peut donner une méthode complète adaptée à la seconde. On remarque que :
(10k+3)²=100k²+20k+9=10(10k²+2 k)+9=10k'+9
(10k+3)³=10k'+3x9=10k"+7
(10k+3)⁴=10k'+3x7=10k"+1
(10k+3)⁵=10k'+1.3=10k'+3
... ça boucle de période 4, donc 43⁴³=(4x10+3)⁴³=10m+7 (43=10x4+3 d'où le 7)
On procède de même pour 17¹⁷, on a successivement 7,9,3,1 or 17=4x4+1 d'où 17¹⁷=10n+7
43⁴³-17¹⁷=(10m+7)-(10n+7)=10(m-n)

[invite2220c077]

On remarque que :
(10k+3)²=100k²+20k+9

Euh chez moi (10k + 3)² = 100k² + 60k + 9