Défi polynomial

invite3240c37d · 17/08/2007, 18h11

Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$ à variable et coefficients réels .
Montrer que si $\forall {|x|<1} \ |P(x)|\leq 1$ alors $\forall {|x|>1} \ |P(x)|\leq 2^{n-1}$
See you ..

**Médiat** · 17/08/2007, 18h28

Il me semble que le polynôme
$P(x) = x^n$
vérifie bien $\forall {|x|<1} \ |P(x)|\leq 1$
mais $|P(2)|> 2^{n-1}$

D'ailleurs un polynôme n'est pas borné, non ?

Il y a sans doute quelque chose que je n'ai pas compris.

invite3240c37d · 17/08/2007, 19h04

Désolé , il y a eu une une erreur de frappe et le terme $x^n$ n'a pas été pris en compte

Je corrige donc :
Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$ à variable et coefficients réels .
Montrer que si $\forall {|x|<1} \ |P(x)|\leq 1$ alors $\forall {|x|>1} \ |P(x)|\leq 2^{n-1}x^n$

Peut être le modérateur voudra bien corriger

Toutes mes excuses ..

**FonKy-** · 17/08/2007, 19h37

MMu n'essaie pas de piégé Mediat tu vas te casser les dents

merci pour ton probleme

FonKy-

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**FonKy-** · 17/08/2007, 19h46

puis je suppose qu'il est en valeurs absolue le x^n

**Médiat** · 17/08/2007, 20h12

Attention au cas "dégénéré" du polynome constant (n = 0), par exemple :
$P(x) = 0.75$ qui vérifie $P(x) < 1$ , mais pas $P(x) < 2^{-1}$

invite3240c37d · 19/08/2007, 13h29

Merci pour les remarques de FonKy et Médiat

Mais quid d'une démo au problème

invitec053041c · 19/08/2007, 13h31

Envoyé par MMu

Merci pour les remarques de FonKy et Médiat

Mais quid d'une démo au problème

Tu n'as pas la réponse?

invite3240c37d · 19/08/2007, 14h18

Envoyé par Ledescat

Tu n'as pas la réponse?

Rigolarem ! J'attends les lumières de Ledescat

invitec053041c · 19/08/2007, 14h57

Envoyé par MMu

Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$ à variable et coefficients réels .
Montrer que si $\forall {|x|<1} \ |P(x)|\leq 1$ alors $\forall {|x|>1} \ |P(x)|\leq 2^{n-1}x^n$

Désolé de te dire ça, mais il doit manquer une valeur absolue quelque part

.
Si tu prends P(x)=1/2.x, il vérifie la première condition.
Or, pour x<-1, |p(x)|>x

inviteaa8f7e46 · 19/08/2007, 15h34

Envoyé par FonKy-

puis je suppose qu'il est en valeurs absolue le x^n

Quant à moi je cherche mais j'ai un peu de mal...

invite6b1e2c2e · 20/08/2007, 13h33

Salut,

Vu le problème, je subodore qu'il faut utiliser quelque part les propriétés bien connues suivantes:

1/ Les polynômes de Tchebycheff sont ceux qui minimisent la norme L^infini(-1,1) parmi les polynômes unitaires de degré n.

2/ On en déduit par un argument un peu tordu (ok, c'est une manière peu élégante de dire que je ne me souviens pas de la preuve) que c'est aussi ceux qui maximisent
$\frac{|P(x)|}{\max\{|P(y)|, \ y \in (-1,1)\}}$ , pour x hors de (-1,1).

3/ On constate que 2^{n-1} est précisément le coefficient dominant du polynome de Tchebycheff de norme infinie 1.

Bref, je suis quasi sur qu'il fat chercher par là.
Bon courage,

PS: Pour une référence, je n'en connais pas. On m'avait donné cette propriété en cours, et je me souviens que ça m'avait pas mal étonné.
__
rvz

**FonKy-** · 20/08/2007, 16h31

Envoyé par Ledescat

Désolé de te dire ça, mais il doit manquer une valeur absolue quelque part

.
Si tu prends P(x)=1/2.x, il vérifie la première condition.
Or, pour x<-1, |p(x)|>x

tu as lu mon post #5 ? haha

FonKy-

invite6b1e2c2e · 20/08/2007, 16h34

Envoyé par rvz

PS: Pour une référence, je n'en connais pas. On m'avait donné cette propriété en cours, et je me souviens que ça m'avait pas mal étonné.

Je me complète : Le cours que j'avais suivi à l'époque est disponible sur le web à www.ann.jussieu.fr/~despres/BD_fichiers/almat.pdf

Le chapitre 2.7 doit receler à peu près tout ce dont on a besoin pour résoudre la question ici posée.

__
rvz

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