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anneau polynomial



  1. #1
    invite52487760

    anneau polynomial


    ------

    Bonjour:
    Je voudrai que vous m'aidiez à resoudre ce petit exercice.. Il s'agit de montrer que :

    Certains m'ont conseillé de considerer l'application : avec : l'injection canonique de dans et la surjection canonique de dans et de montrer ensuite que cette application : définie de dans , qui est un morphisme d'anneau, est bijectif .. Pourriez vous me donner plus d'eclairssissements sur ce point et merçi infiniment !!

    -----

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  3. #2
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    svp aidez moi !!

  4. #3
    tize

    Re : anneau polynomial

    Bonjour,
    voila comment je m'y prendrai :
    Soit le morphisme d'anneau qui à associe (Montrer que c'est un morphisme SURJECTIF...).
    Il suffit ensuite de quotienter par son noyau pour obtenir une bijection, reste à montrer que
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  5. #4
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonsoir tize :
    Merçi de m'avoir repondu !!
    Bon d'abord on va verifier que c'est un morphisme d'anneau ( on va appliquer le theorème d'isomorphimse d'anneau ) :
    Soit un anneau:
    Soient :
    :
    et
    On a :


    .
    Ensuite, on vérifie que est surjective :
    : .

    : .
    Montrons maintenant que: :
    Soit:
    Reciproquement:
    :
    Par conséquent :
    D'après le théorème d'isomorphisme d'anneau sur : : .
    Merçi beaucoup tize pour ton aide !!

  6. #5
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Pourriez vous me dire aussi pourquoi si est principal alors est nécessairement intègre et merçi infiniment !!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Est ce que c'est une definition du cours, est ce que si est principal alors est principal donc par définition est intègre !!

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  10. #7
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Salut...

    ou bien encore plus simple. A[X] principal présuppose A[X] intègre. Donc A est intègre.

    Mais cela dit, tu as raison, si A[X] est principal, A est forcément principal (prend I idéal de A et considère IA[X], l'idéal engendré dans A[X], qui n'est autre que l'ensemble des polynômes à coefficients dans I).

    Taar.

  11. #8
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonjour:
    Merçi Taar pour ta reponse !
    j'ai une autre question à vous poser :
    D'après une définition du cours:
    Soit un anneau factoriel.
    Soient et des éléments de .
    L'égalité suivante est vraie dans :
    avec : l'ensemble des éléments inversibles.
    Question:
    Est ce que celà signfie qu'en réalité, l'expression s'ecrit : .
    Parceque dans la demonstration, il y'a un petit passage qui dit : " ... Il suffit en fait de démontrer que le contenu de vaut . C'est à dire que si le pgcd des coefficients de et est modulo un élément de "
    Est ce que celà c'est vrai ?
    Taar, tu peux me dire stp comment on parvient à démontrer que : est intègre implique que est intègre ?!
    et merçi tous le monde !!

  12. #9
    homotopie

    Re : anneau polynomial

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Est ce que celà signfie qu'en réalité, l'expression s'ecrit : .
    Non cela signifie qu'il existe un élément inversible u tel que c(P.Q)=uC(P)c(Q)
    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Parceque dans la demonstration, il y'a un petit passage qui dit : " ... Il suffit en fait de démontrer que le contenu de vaut . C'est à dire que si le pgcd des coefficients de et est modulo un élément de "
    Est ce que celà c'est vrai ?
    Oui dans le cas général en posant d=C(P)^c(Q), P/d est toujours un polynôme dans A[X] car d divise c(P) donc divise tous les coefficients de P, de même Q/d est dans A[X]
    Maintenat on a c(P/d)=c(P)/d et c(Q/d)=c(Q)/d
    c(P/d)^c(Q/d) est donc égal à 1
    c(P/d.Q/d)=c(P/d)c(Q/d)=(c(P)/d)(c(Q)/d)=c(P)c(Q)/d²
    d'autre part c(P/d Q/d)=c(PQ/d²)=c(PQ)/d².
    On a donc c(PQ)=c(P)c(Q) dans le cas général.
    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Taar, tu peux me dire stp comment on parvient à démontrer que : est intègre implique que est intègre ?!
    et merçi tous le monde !!
    A s'injecte dans A[X] (polynômes constants).
    ab=0 en tant qu'éléments de A revient exactement à dire que a.b=0 en tant que polynômes constants.
    a ou b=0 en tant qu'éléments de A revient exactement à dire que a ou b=0 en tant que polynômes constants.

  13. #10
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonjour:
    J'ai encore quelques questions à vous poser, les voiçi :
    Lemme:
    Soit un anneau factoriel.
    Soient et des éléments de $.
    L'égalité suivante est vraie dans :

    Démonstration:
    Démontrons déjà cette égalité dans le cas où et sont primitifs. Il suffit en fait de démontrer que le contenu de vaut . C'est à dire que si le des coefficients de et est modulo un élément de , alors il en est de même pour celui des coefficients de . Si désignent les coefficients de et ceux de , les coefficients de sont de la forme: pour allant de à . Soit un diviseur de . Comme est factoriel, on peut supposer que est irréductible. divise donc les quantités pour tout allant de à . Comme et , on peut trouver et tels que et mais ne divise ni ni . Comme , divise en particulier le coefficient du terme de degré : .
    Remarquons que sauf si (car d'après le lemme d'Euclide, si un irréductible divise un produit, il divise nécessairement un des facteurs du produit). ne peut diviser le coefficient d'ordre de . Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Donc .
    Si ou , alors s'écrit est un élément de vérifiant et s'écrit vérifie . Clairement, .
    Question:
    Voilà donc, les passages que je n'ai pas compris sont en vert dans la démonstration, Pourriez vous me les expliquer, et merçi infiniment, j'ai pas compris pourquoi si et , on peut trouver et tels que et mais ne divise ni ni
    et pourquoi sauf si
    Merçi infiniment !!

  14. #11
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Salut.

    d ne divise pas tous les ak, sinon leur pgcd serait divisible par d. Donc il divise les ak seulement jusqu'à une certaine valeur de k.

    pour le second point, si i ≠ k1, alors :
    - soit i < k1 auquel cas d divise ai
    - soit i > k1, auquel cas k1+k2-i < k2 et donc d divise bk1+k2-i

    Si i = k1, alors k1+k2-i=k2. Donc d ne divise, ni ai, ni bk1+k2-i
    Taar.

  15. #12
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonsoir:
    Merçi Taar pour ta dernière reponse !
    j'ai une autre question à vous poser et merçi d'avance!!
    Soit un anneau unitaire, et comutatif.
    Soit une partie multiplicative de qui ne contient pas .
    Soit la relation binaire définie sur :
    : .
    Question:
    comment montrer que est une transitive:
    Autrement dire:
    et : et .
    c'est à dire:
    et :
    et : .
    et merçi infiniment !!

  16. Publicité
  17. #13
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    je l'ai trouvé, c'est simple:
    et : avec : .

  18. #14
    Taar
    Pas de quoi !

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    je l'ai trouvé, c'est simple:
    et : avec : .
    Euh... C'est bizarre ton calcul. Il n'y a pas de raison pour que le coefficient qui intervient dans soit précisément , ni d'ailleurs pour que celui qui intervient dans soit précisément .

    Mais tu as la bonne méthode de calcul ! Avant de lire le spoiler, essaie plutôt que . D'autre part, attention, tu as défini la relation avec des couples où la première composante est dans (c'est pas classique mais bon...).

     Cliquez pour afficher


    Taar.

  19. #15
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Merçi Taar !

  20. #16
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonjour:
    Soit un anneau factoriel.
    Soit le corps des fractions de .
    Soit un élément irréductible de :
    Question:
    Pourquoi si: alors !!
    et merçi infiniment !!

  21. #17
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Salut !
    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Pourquoi si: alors !!
    et merçi infiniment !!
    Parce que R=c(R)Q, où Q est le polynôme obtenu en divisant chaque coefficient de R par c(R). Ses coefficients sont dans A par définition du contenu.

    Q n'est pas inversible car son degré est strictement supérieur à 0.
    Donc c(R) est inversible dans A[X], donc dans A.

    Cordialement,
    Taar.

  22. #18
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonjour:
    Merçi encore une fois Taar pour ta reponse !
    j'ai encore une autre question à vous poser :
    Soit un anneau commutatif, unitaire, intègre.
    Soit: l'ensemble des éléments inversibles de .
    Soit . On note l'ensemble des diviseurs de .
    On a l'équivalence des deux assertions suivantes :
    1) et et .
    2) : .
    Question:
    Sachant que 2) est verifié comment montrer que: .
    et merçi infiniment !!

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  24. #19
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Salut.

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Sachant que 2) est verifié comment montrer que: .
    et merçi infiniment !!
    C'est toujours vrai, même sans 2).

    Si x est inversible alors x divise p : x(x-1p)=p.
    px également : px x-1=p.

    C'est l'inclusion inverse qui est forte.

    Cordialement,

    Taar.

  25. #20
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Merçi beaucoup Taar !

  26. #21
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Resalut:
    Soit l'anneau commutatif, unitaire, intègre : .
    Comment determiner les inversibles de et merçi infiniment !!!

  27. #22
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Soit : .
    .
    est inversible : car : et et ou .

  28. #23
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Soit : .
    .
    est inversible : car : et et ou .
    Ça marche (à part peut-être que tu as glissé de (a,b) à (a',b') en cours de route). Autant écrire une inclusion à la fin (c'est plus précisément en rapport avec ce que tu as fait).

    Taar.

  29. #24
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    oui et :
    en effet :

    et : .
    et au départ on a montrer que :
    Donc :
    Merçi Taar !

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  31. #25
    invite986312212
    Invité

    Re : anneau polynomial

    pour se simplifier la vie dans ce genre de démonstration, on introduit la norme: l'entier a^2+5b^2 dans ton exemple. Tu peux voir que la norme d'un produit est le produit des normes. etc.

  32. #26
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonsoir:
    Pourriez vous me dire quels sont les éléments de cet ensemble : avec : l'anneau des entiers algébriques sur le corps des complexes , et comment s'ecrivent-t-ils , et pourquoi a-t-on avec respectivement et le corps des rationnels et l'anneau des entiers relatifs.
    et merçi infiniment !!!

  33. #27
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Bonsoir:
    Pourriez vous me dire quels sont les éléments de cet ensemble : avec : l'anneau des entiers algébriques sur le corps des complexes , et comment s'ecrivent-t-ils , et pourquoi a-t-on avec respectivement et le corps des rationnels et l'anneau des entiers relatifs.
    et merçi infiniment !!!
    Les entiers algébriques sur C sont ... tous les éléments de C ! Je suppose que tu veux parler des entiers algébriques de C (sur Q).

    Ils n'ont pas d'écriture particulière. Par exemple, en est un, aussi, mais aussi ou (le nombre d'or). Il y a aussi ceux qui ne s'écrivent pas avec des radicaux...

    est un entier algébrique car solution de x2+1=0
    aussi car solution de x2-2=0
    solution de x5-2=0
    solution de x2-x-1=0

    Plus généralement, les entiers algébriques sont les solutions complexes des équations de la forme



    où n est un entier quelconque, et les sont dans . Note que le coefficient de plus haut degré du polynôme est 1.

    Ils forment un sous-anneau (contenant ) du corps des nombres algébriques sur , qui est, lui, l'ensemble des solutions complexes des équations de la forme


    où n est un entier quelconque, , et les sont dans .

    Par exemple, est algébrique, mais pas entier algébrique.

    Pour montrer que , ce n'est pas bien dur :

    Tu prends un rationnel qui est aussi entier algébrique, racine d'un polynôme à coefficients entiers


    Dans , le polynôme se décompose en irréductibles. Quitte à multiplier ces irréductibles par des entiers non nuls, tu peux supposer leurs coefficients entiers et tu obtiens :

    On voit que le produit des est , donc on peut diviser chaque par son contenu et obtenir :

    Vu la teneur des manipulations qui ont été faites (multiplications par des rationnels non nuls), chaque est irréductible dans ; il est à coefficients entiers ; son coefficient de plus haut degré est forcément 1 ou -1 (puisque le produit des coefficients de plus haut degré est 1).

    Maintenant, l'un des annule forcément , il est donc divisible par dans . Comme il est irréductible, il est égal à , . Comme son coeff de plus haut degré est +/-1, est forcément égal à ou . Comme il est à coefficients entiers, .
    Dernière modification par Taar ; 21/06/2007 à 03h33.

  34. #28
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Rem : dans la démonstration que j'ai faite, je recours aux irréductibles de , mais c'était juste pour utiliser les notions dont tu nous parles dans ce topic...

    On peut aussi partir plus simplement d'une égalité

    et refaire les mêmes manips.

    Taar.

  35. #29
    invite52487760

    Re : anneau polynomial

    Bonjour:
    Taar, merçi d'abord pour ta dernière reponse !!
    J'ai une autre question à vous poser :
    Pourriez vous m'expliquez pourquoi on a l'équivalence suivante, je vois pas comment faire :
    Soit un demi-groupe abélien multiplicatif factoriel.
    Soient:
    Alors :

    et merçi infiniment !!

  36. #30
    Taar

    Re : anneau polynomial

    Citation Envoyé par chentouf Voir le message
    Bonjour:
    Taar, merçi d'abord pour ta dernière reponse !!
    J'ai une autre question à vous poser :
    [...]
    Pas de quoi !

    Mais bon cette équivalence est immédiate ... PGCD désigne si je ne m'abuse l'unique élément simple dans la classe des pgcd (qui sont tous associés entre eux). Or les inversibles sont précisément les nombres associés à 1, et 1 est simple.

    Taar.

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