anneau polynomial

invitecbade190 · 13/06/2007, 17h42

Bonjour:
Je voudrai que vous m'aidiez à resoudre ce petit exercice.. Il s'agit de montrer que :
$\text{[math]}$
Certains m'ont conseillé de considerer l'application : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ : l'injection canonique de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ la surjection canonique de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et de montrer ensuite que cette application : $\text{[math]}$ définie de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , qui est un morphisme d'anneau, est bijectif .. Pourriez vous me donner plus d'eclairssissements sur ce point et merçi infiniment !!

invitecbade190 · 14/06/2007, 13h11

svp aidez moi !!

inviteae1ed006 · 14/06/2007, 20h51

Bonjour,
voila comment je m'y prendrai :
Soit $\text{[math]}$ le morphisme d'anneau qui à $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ (Montrer que c'est un morphisme SURJECTIF...).
Il suffit ensuite de quotienter $\text{[math]}$ par son noyau pour obtenir une bijection, reste à montrer que $\text{[math]}$

invitecbade190 · 14/06/2007, 21h46

Bonsoir tize :
Merçi de m'avoir repondu !!
Bon d'abord on va verifier que c'est un morphisme d'anneau ( on va appliquer le theorème d'isomorphimse d'anneau ) :
Soit $\text{[math]}$ un anneau:
Soient $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
On a :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
Ensuite, on vérifie que $\text{[math]}$ est surjective :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Montrons maintenant que: $\text{[math]}$ :
Soit: $\text{[math]}$
Reciproquement:
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
Par conséquent : $\text{[math]}$
D'après le théorème d'isomorphisme d'anneau sur $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Merçi beaucoup tize pour ton aide !!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 14/06/2007, 22h50

Pourriez vous me dire aussi pourquoi si $\text{[math]}$ est principal alors $\text{[math]}$ est nécessairement intègre et merçi infiniment !!

invitecbade190 · 14/06/2007, 22h52

Est ce que c'est une definition du cours, est ce que si $\text{[math]}$ est principal alors $\text{[math]}$ est principal donc par définition $\text{[math]}$ est intègre !!

invite9cf21bce · 14/06/2007, 23h25

Salut...

ou bien encore plus simple. A[X] principal présuppose A[X] intègre. Donc A est intègre.

Mais cela dit, tu as raison, si A[X] est principal, A est forcément principal (prend I idéal de A et considère IA[X], l'idéal engendré dans A[X], qui n'est autre que l'ensemble des polynômes à coefficients dans I).

Taar.

invitecbade190 · 15/06/2007, 07h43

Bonjour:
Merçi Taar pour ta reponse !
j'ai une autre question à vous poser :
D'après une définition du cours:
Soit $\text{[math]}$ un anneau factoriel.
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des éléments de $\text{[math]}$ .
L'égalité suivante est vraie dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ : l'ensemble des éléments inversibles.
Question:
Est ce que celà signfie qu'en réalité, l'expression s'ecrit : $\text{[math]}$ .
Parceque dans la demonstration, il y'a un petit passage qui dit : " ... Il suffit en fait de démontrer que le contenu de $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ . C'est à dire que si le pgcd des coefficients de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ modulo un élément de $\text{[math]}$ "
Est ce que celà c'est vrai ?
Taar, tu peux me dire stp comment on parvient à démontrer que : $\text{[math]}$ est intègre implique que $\text{[math]}$ est intègre ?!
et merçi tous le monde !!

**invite35452583** · 15/06/2007, 10h58

Envoyé par chentouf

Est ce que celà signfie qu'en réalité, l'expression s'ecrit : $\text{[math]}$ .

Non cela signifie qu'il existe un élément inversible u tel que c(P.Q)=uC(P)c(Q)

Envoyé par chentouf

Parceque dans la demonstration, il y'a un petit passage qui dit : " ... Il suffit en fait de démontrer que le contenu de $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ . C'est à dire que si le pgcd des coefficients de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ modulo un élément de $\text{[math]}$ "
Est ce que celà c'est vrai ?

Oui dans le cas général en posant d=C(P)^c(Q), P/d est toujours un polynôme dans A[X] car d divise c(P) donc divise tous les coefficients de P, de même Q/d est dans A[X]
Maintenat on a c(P/d)=c(P)/d et c(Q/d)=c(Q)/d
c(P/d)^c(Q/d) est donc égal à 1
c(P/d.Q/d)=c(P/d)c(Q/d)=(c(P)/d)(c(Q)/d)=c(P)c(Q)/d²
d'autre part c(P/d Q/d)=c(PQ/d²)=c(PQ)/d².
On a donc c(PQ)=c(P)c(Q) dans le cas général.

Envoyé par chentouf

Taar, tu peux me dire stp comment on parvient à démontrer que : $\text{[math]}$ est intègre implique que $\text{[math]}$ est intègre ?!
et merçi tous le monde !!

A s'injecte dans A[X] (polynômes constants).
ab=0 en tant qu'éléments de A revient exactement à dire que a.b=0 en tant que polynômes constants.
a ou b=0 en tant qu'éléments de A revient exactement à dire que a ou b=0 en tant que polynômes constants.

invitecbade190 · 15/06/2007, 19h44

Bonjour:
J'ai encore quelques questions à vous poser, les voiçi :
Lemme:
Soit $\text{[math]}$ un anneau factoriel.
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des éléments de $ $\text{[math]}$ .
L'égalité suivante est vraie dans $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
Démonstration:
Démontrons déjà cette égalité dans le cas où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont primitifs. Il suffit en fait de démontrer que le contenu de $\text{[math]}$ vaut $\text{[math]}$ . C'est à dire que si le $\text{[math]}$ des coefficients de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ modulo un élément de $\text{[math]}$ , alors il en est de même pour celui des coefficients de $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ désignent les coefficients de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ceux de $\text{[math]}$ , les coefficients de $\text{[math]}$ sont de la forme: $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ allant de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ un diviseur de $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ est factoriel, on peut supposer que $\text{[math]}$ est irréductible. $\text{[math]}$ divise donc les quantités $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ allant de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut trouver $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ ne divise ni $\text{[math]}$ ni $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ divise en particulier le coefficient du terme de degré $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Remarquons que $\text{[math]}$ sauf si $\text{[math]}$ (car d'après le lemme d'Euclide, si un irréductible divise un produit, il divise nécessairement un des facteurs du produit). $\text{[math]}$ ne peut diviser le coefficient d'ordre $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ . Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. Donc $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un élément de $\text{[math]}$ vérifiant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ s'écrit $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$ . Clairement, $\text{[math]}$ .
Question:
Voilà donc, les passages que je n'ai pas compris sont en vert dans la démonstration, Pourriez vous me les expliquer, et merçi infiniment, j'ai pas compris pourquoi si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut trouver $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ ne divise ni $\text{[math]}$ ni $\text{[math]}$
et pourquoi $\text{[math]}$ sauf si $\text{[math]}$
Merçi infiniment !!

invite9cf21bce · 15/06/2007, 19h56

Salut.

d ne divise pas tous les a_k, sinon leur pgcd serait divisible par d. Donc il divise les a_k seulement jusqu'à une certaine valeur de k.

pour le second point, si i ≠ k₁, alors :
- soit i < k₁ auquel cas d divise a_i
- soit i > k₁, auquel cas k₁+k₂-i < k₂ et donc d divise b_k₁+k₂-i

Si i = k₁, alors k₁+k₂-i=k₂. Donc d ne divise, ni a_i, ni b_k₁+k₂-i
Taar.

invitecbade190 · 17/06/2007, 00h24

Bonsoir:
Merçi Taar pour ta dernière reponse !
j'ai une autre question à vous poser et merçi d'avance!!
Soit $\text{[math]}$ un anneau unitaire, et comutatif.
Soit $\text{[math]}$ une partie multiplicative de $\text{[math]}$ qui ne contient pas $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ la relation binaire définie sur $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Question:
comment montrer que $\text{[math]}$ est une transitive:
Autrement dire:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
c'est à dire:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
et merçi infiniment !!

invitecbade190 · 17/06/2007, 00h52

je l'ai trouvé, c'est simple:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .

invite9cf21bce · 17/06/2007, 02h51

Pas de quoi !

Envoyé par chentouf

je l'ai trouvé, c'est simple:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .

Euh... C'est bizarre ton calcul. Il n'y a pas de raison pour que le coefficient $\text{[math]}$ qui intervient dans $\text{[math]}$ soit précisément $\text{[math]}$ , ni d'ailleurs pour que celui qui intervient dans $\text{[math]}$ soit précisément $\text{[math]}$ .

Mais tu as la bonne méthode de calcul ! Avant de lire le spoiler, essaie $\text{[math]}$ plutôt que $\text{[math]}$ . D'autre part, attention, tu as défini la relation $\text{[math]}$ avec des couples $\text{[math]}$ où la première composante est dans $\text{[math]}$ (c'est pas classique mais bon...).

Cliquez pour afficher

Taar.

invitecbade190 · 17/06/2007, 15h29

Merçi Taar !

invitecbade190 · 18/06/2007, 16h24

Bonjour:
Soit $\text{[math]}$ un anneau factoriel.
Soit $\text{[math]}$ le corps des fractions de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ un élément irréductible de $\text{[math]}$ :
Question:
Pourquoi si: $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ !!
et merçi infiniment !!

invite9cf21bce · 19/06/2007, 13h15

Salut !

Envoyé par chentouf

Pourquoi si: $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ !!
et merçi infiniment !!

Parce que R=c(R)Q, où Q est le polynôme obtenu en divisant chaque coefficient de R par c(R). Ses coefficients sont dans A par définition du contenu.

Q n'est pas inversible car son degré est strictement supérieur à 0.
Donc c(R) est inversible dans A[X], donc dans A.

Cordialement,
Taar.

invitecbade190 · 19/06/2007, 21h15

Bonjour:
Merçi encore une fois Taar pour ta reponse !
j'ai encore une autre question à vous poser :
Soit $\text{[math]}$ un anneau commutatif, unitaire, intègre.
Soit: $\text{[math]}$ l'ensemble des éléments inversibles de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ . On note $\text{[math]}$ l'ensemble des diviseurs de $\text{[math]}$ .
On a l'équivalence des deux assertions suivantes :
1) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
2) $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Question:
Sachant que 2) est verifié comment montrer que: $\text{[math]}$ .
et merçi infiniment !!

invite9cf21bce · 20/06/2007, 00h06

Salut.

Envoyé par chentouf

Sachant que 2) est verifié comment montrer que: $\text{[math]}$ .
et merçi infiniment !!

C'est toujours vrai, même sans 2).

Si x est inversible alors x divise p : x(x^-1p)=p.
px également : px x^-1=p.

C'est l'inclusion inverse qui est forte.

Cordialement,

Taar.

invitecbade190 · 20/06/2007, 00h08

Merçi beaucoup Taar !

invitecbade190 · 20/06/2007, 00h48

Resalut:
Soit l'anneau commutatif, unitaire, intègre : $\text{[math]}$ .
Comment determiner les inversibles de $\text{[math]}$ et merçi infiniment !!!

invitecbade190 · 20/06/2007, 01h17

Soit : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est inversible $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ car : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

invite9cf21bce · 20/06/2007, 02h41

Envoyé par chentouf

Soit : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est inversible $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ car : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Ça marche (à part peut-être que tu as glissé de (a,b) à (a',b') en cours de route). Autant écrire une inclusion à la fin (c'est plus précisément en rapport avec ce que tu as fait).

Taar.

invitecbade190 · 20/06/2007, 13h27

oui et $\text{[math]}$ :
en effet :
$\text{[math]}$
et : $\text{[math]}$ .
et au départ on a montrer que : $\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$
Merçi Taar !

invite986312212 · 20/06/2007, 15h55

pour se simplifier la vie dans ce genre de démonstration, on introduit la norme: l'entier a^2+5b^2 dans ton exemple. Tu peux voir que la norme d'un produit est le produit des normes. etc.

invitecbade190 · 21/06/2007, 01h35

Bonsoir:
Pourriez vous me dire quels sont les éléments de cet ensemble : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ l'anneau des entiers algébriques sur le corps des complexes $\text{[math]}$ , et comment s'ecrivent-t-ils , et pourquoi a-t-on $\text{[math]}$ avec respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le corps des rationnels et l'anneau des entiers relatifs.
et merçi infiniment !!!

invite9cf21bce · 21/06/2007, 03h29

Envoyé par chentouf

Bonsoir:
Pourriez vous me dire quels sont les éléments de cet ensemble : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ l'anneau des entiers algébriques sur le corps des complexes $\text{[math]}$ , et comment s'ecrivent-t-ils , et pourquoi a-t-on $\text{[math]}$ avec respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le corps des rationnels et l'anneau des entiers relatifs.
et merçi infiniment !!!

Les entiers algébriques sur C sont ... tous les éléments de C !

Je suppose que tu veux parler des entiers algébriques de C (sur Q).

Ils n'ont pas d'écriture particulière. Par exemple, $\text{[math]}$ en est un, $\text{[math]}$ aussi, mais aussi $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ (le nombre d'or). Il y a aussi ceux qui ne s'écrivent pas avec des radicaux...

$\text{[math]}$ est un entier algébrique car solution de x²+1=0
$\text{[math]}$ aussi car solution de x²-2=0
$\text{[math]}$ solution de x⁵-2=0
$\text{[math]}$ solution de x²-x-1=0

Plus généralement, les entiers algébriques sont les solutions complexes des équations de la forme

$\text{[math]}$

où n est un entier quelconque, $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ sont dans $\text{[math]}$ . Note que le coefficient de plus haut degré du polynôme est 1.

Ils forment un sous-anneau (contenant $\text{[math]}$ ) du corps des nombres algébriques sur $\text{[math]}$ , qui est, lui, l'ensemble des solutions complexes des équations de la forme

$\text{[math]}$
où n est un entier quelconque, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et les $\text{[math]}$ sont dans $\text{[math]}$ .

Par exemple, $\text{[math]}$ est algébrique, mais pas entier algébrique.

Pour montrer que $\text{[math]}$ , ce n'est pas bien dur :

Tu prends un rationnel $\text{[math]}$ qui est aussi entier algébrique, racine d'un polynôme à coefficients entiers
$\text{[math]}$

Dans $\text{[math]}$ , le polynôme se décompose en irréductibles. Quitte à multiplier ces irréductibles par des entiers non nuls, tu peux supposer leurs coefficients entiers et tu obtiens :
$\text{[math]}$
On voit que le produit des $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , donc on peut diviser chaque $\text{[math]}$ par son contenu et obtenir :
$\text{[math]}$
Vu la teneur des manipulations qui ont été faites (multiplications par des rationnels non nuls), chaque $\text{[math]}$ est irréductible dans $\text{[math]}$ ; il est à coefficients entiers ; son coefficient de plus haut degré est forcément 1 ou -1 (puisque le produit des coefficients de plus haut degré est 1).

Maintenant, l'un des $\text{[math]}$ annule forcément $\text{[math]}$ , il est donc divisible par $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Comme il est irréductible, il est égal à $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . Comme son coeff de plus haut degré est +/-1, $\text{[math]}$ est forcément égal à $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Comme il est à coefficients entiers, $\text{[math]}$ .

invite9cf21bce · 21/06/2007, 03h48

Rem : dans la démonstration que j'ai faite, je recours aux irréductibles de $\text{[math]}$ , mais c'était juste pour utiliser les notions dont tu nous parles dans ce topic...

On peut aussi partir plus simplement d'une égalité
$\text{[math]}$
et refaire les mêmes manips.

Taar.

invitecbade190 · 23/06/2007, 17h09

Bonjour:
Taar, merçi d'abord pour ta dernière reponse !!
J'ai une autre question à vous poser :
Pourriez vous m'expliquez pourquoi on a l'équivalence suivante, je vois pas comment faire :
Soit $\text{[math]}$ un demi-groupe abélien multiplicatif factoriel.
Soient: $\text{[math]}$
Alors :
$\text{[math]}$
et merçi infiniment !!

invite9cf21bce · 23/06/2007, 20h41

Envoyé par chentouf

Bonjour:
Taar, merçi d'abord pour ta dernière reponse !!
J'ai une autre question à vous poser :
[...]
$\text{[math]}$

Pas de quoi !

Mais bon cette équivalence est immédiate ... PGCD désigne si je ne m'abuse l'unique élément simple dans la classe des pgcd (qui sont tous associés entre eux). Or les inversibles sont précisément les nombres associés à 1, et 1 est simple.

Taar.

anneau polynomial

anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

Re : anneau polynomial

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Re : anneau polynomial

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