Bonjour,
mon problème est le suivant, j'ai une suite de fonctions holderiennes (fn) (d'ordre au plus alpha) telle qu'il existe f avec |fn(x)-f(x)|->0 presque surement. La fonction f est elle également holderienne (d'ordre alpha)?
ensuite peut on obtenir des résultats du type
sup[ |fn(x)-f(x)-(fn(y)-f(y))| / |x-y|^(alpha)]->0?
merci d'avance
Salut !
je vois deux probleme majeur.
1) une fonction a-holdérienne c'est bien |f(x)-f(y)|<=k*|x-y|^a ?
alors pour pouvoir faire quoi que ce soit il faudrat qu'il y ai un meme K pour toute les fonction de ta suite fn, sinon tu peut avoir n'importe quoi ! (n'importe qu'elle fonction continu sur un compact est limite uniforme d'une suite de fonction lipshitzienne par exemple...)
2) si tu as convergence simple presque partous seulement, alors il faut une hypothese de continuité sur f... sinon tu prend par exemple f la limite de ta suite fn partous sauf en un point ou tu donne a f une autre valeur, et alors f sera limite simple presque partous (partous sauf en un point), mais meme pas continu... donc surement pas holdérienne
modulo ces deux hypothese... on pourra peut-etre arriver a quelque chose ^^
alors
1) oui c'est bien ca une fonction holderienne, en effet la restriction pour la constante m'avait échapée
2) pour mon problème j'ai reussi a avoir d'autres criteres vérifiés du type
|fn(x)-f(x)|<g(x) ou g(x) est une fonction a-holderienne. sinon une hypothese de continuité sur f ne serait pas dérangeante
Si f est continu, et qu'on majore la constante k des fonction fn, alors on peut montrer facilement que la convergence simple des fn sur une parti dense entraine la convergence uniforme sur tous compact. la limite est alors holderienne par passage a la limite dans l'inégalité de Holder.
"|fn(x)-f(x)|<g(x) ou g(x) est une fonction a-holderienne" cela entraine que f est a-holderienne, donc continu non ?
mais dans tous les cas il n'y a aucune raison qu'on est des inégalité en sup[ |fn(x)-f(x)-(fn(y)-f(y))| / |x-y|^(alpha)]->0?
par exemple, prend pour f la fonction nul, fn la fonction 1-lipschitzienne "en triangle", avec n somme dans [0,1], et une dérivé égal a + ou - 1.
fn converge uniformement vers f, mais le sup des |fn(x)-f(x)-(fn(y)-f(y))| / |x-y| est égal a 1... quelque soit n
merci...je vais chercher autre chose alors
