Suite de fonctions

[invitec13ffb79]

Bonjour,

Je cherche à étudier la convergence simple de la suite de fonctions définie ainsi:

Pour , :

si
sinon.

Je suppose que c'est un exemple d'étude des plus simples, mais n'ayant encore jamais vu d'exemple, je n'ai pas de "méthode".
Par définition, je sais que CVS vers si .

Mais voilà... Intuitivement, j'ai voulu regarder la limite de l'expression pour : c'est une forme indéterminée...
J'ai alors regardé cette limite pour : on constate que
De même, j'ai regardé pour , et on obtient le même résultat... Et pour tous les situés entre et ?

Je suppose que ma méthode n'est pas la bonne, alors si quelqu'un pouvait me montrer, ce serait sympa!

Merci d'avance.
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[Bleyblue]

Salut,

Ta suite converge simplement vers f(x) = 0 car l'intervalle [0,1/n] tend vers l'ensemble vide lorsque n tend vers l'infini.
Il faut le montrer en revenant à la définition de convergence simple (c'est relativement simple je pense vu que tu peu fixer x et tu n'a alors qu'a prendre un n tel que n > x pour affirmer fn(x) = 0)

Sinon la limite de ta fonction entre [0,1/n] vaut 0 si x est nul et - l'infini sinon.
Donc intuitivement je dirais que ça ne converge pas uniformément et la encore il faut le montrer en revenant à la définition de convergence unfiorme

[invitec13ffb79]

Merci de ta réponse! Cependant, je n'ai pas compris. Revenons d'abord sur la convergence simple.

Premièrement, j'ai voulu regarder sur l'intervalle [0, 1/n]. Déjà, on remarque que lim f_n(0) = lim f_n(1/n) = 0. Mais pour les x compris entre 0 et 1/n, comment fait-on? J'ai essayé de calculer la limite de l'expression de f_n(x), mais on obtient une forme indéterminée (+INF * -INF).

[Bleyblue]

alors qu'a prendre un n tel que n > x pour affirmer fn(x) = 0)

Pardon, c'est plutôt : n > 1/x (si x non nul) et alors 1/n < x de sorte que x > 1/n et fn(x) = 0

Si x est nul ta fonction vaut 0 pour tout n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Alors donc sur [0,1/n]

Tu cherches à calculer :

x un réel non nul < 1.
Le premier terme du produit tend vers l'infini et le second vers - l'infini donc le produit tendra vers - l'infini (c'est une règle de calcul des limites qui se démontre en revenant à la définition je pense)

Note que je ne pense pas que tu aies besoins de ça de toute façon, vu que [0,1/n] "devient " à l'infini

[invitebb921944]

Ca ne tendrait pas plutot vers l'ensemble nul ?

[inviteaeeb6d8b]

Petite correction pour éviter les confusions (ça m'a l'air d'être utilisé ensuite) :

Ta suite converge simplement vers f(x) = 0 car l'intervalle [0,1/n] tend vers l'ensemble vide lorsque n tend vers l'infini.

Ce serait pas plutôt [0;1/n] tend vers {0} quand n tend vers l'infini ?

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Soit n dans IN*

soit x dans [0;1/n]

alors 0 x 1/n

passage à la limite : 0 x 0 donc x=0

Romain


EDIT : encore grillé (deuxième fois de la journée... en 30 minutes de connexion !)

[Bleyblue]

Tu veux dire le singleton {0} ?
Si on dirait bien mais ça ne fait aucune différence je pense car de toute façon fn(0) = 0

L'important ici c'est que pour tout x il existe un n suffisament grand tel que fn(x) = 0 et donc en revenant à la définition de convergence simple on montre facilement que la suite fn tend vers 0, sans avoir à calculer la limite de fn sur [0,1/n]

EDIT : Ok désolé pour la petite faute, mais c'est sans conséquences ici, je pense

[invitebb921944]

Je pense qu'il faut dire :
Si x=0, alors x appartient toujours à l'intervalle [0,1/n] (même lorsque n tend vers l'infini).
Or, lim(n².0(1-n.0))=0 lorsque n tend vers l'infini.
Ensuite, pour tout x appartient à ]0,1], x n'appartient pas à [1/n] lorsque n tend vers l'infini. Donc fn(x)=0.
Finalement la suite converge simplement vers 0 pour tout x.

[invitebb921944]

Tu veux dire le singleton {0} ?
Si on dirait bien mais ça ne fait aucune différence je pense car de toute façon fn(0) = 0

Oui je suis d'accord mais il faut le dire quand même

[inviteaeeb6d8b]

Re !

Quelle densité de messages en si peu de minutes ! Impressionnant

[Bleyblue]

Moi je pense que pour être rigoureux il faut revenir à la définition de la convergence simple :

[Bleyblue]

Oui je suis d'accord mais il faut le dire quand même

oui j'ai fait un peu à la va vite désolé

Quelle densité de messages en si peu de minutes ! Impressionnant

[invitec13ffb79]

J'avoue ne pas bien comprendre encore... Le fait que la suite tende vers , qu'est-ce que cela implique?

[Bleyblue]

Rien en ce qui concerne la convergence simple (elle ne tend vers - l'infini que sur ]0,1/n])

Cela implique sans doute la non convergence uniforme mais il faudrait le prouver.

La convergence simple te dit que :

Quel que soit x, si tu prends epsilon réel > 0 alors il y a moyen de rendre la distance |fn(x) - f(x)| < epsilon pour tout n plus grand qu'un certain K .

Or ici f = 0 donc ça revient à |fn(x)| < epsilon et tu sais que pour un n suffisament grand fk(x) sera égal à 0 (k > n) car x sera plus grand que 1/n. Donc |fn - f| = 0 < epsilon

Donc la fonction converge simplement, peu importe ce qu'elle fait sur [0,1/n].

[invitec13ffb79]

Bonsoir,

Je reviens sur cette fonction, mais cette fois-ci, je cherche à montrer que la fonction converge uniformément sur , avec .
J'ai bien montré qu'elle ne CVU sur , mais là je ne vois pas comment m'y prendre... Pouvez-vous me montrer svp?

Merci d'avance.