Bonjour a tous.
Voila, je seche sur deux petits exos mais je n'ai jamais manipulé cela avant donc je ne sais meme pas comment partir:
EXO1
mtq la fonction f(x)=|x| est faiblement derivable et calculer sa derivée faible.
EXO2
La fonction de Heaviside (fonction indicatrice de R+) est elle faiblement derivable?
merci bien a bientot.
Salut !
faudrait peut-etre que tu nous dise ce que tu apelle dérivé faible non ?
def:une fct L1,loc(R) est faiblement derivable s'il existe f' de L1loc(R) tq pour tout g de Ccinfini(R) on est:<f,d/dxg>
=-<f',g>.
au fait c'est la définition de la dérivée au sens des distributions.
hum, dans ce cas j'ai jammais étudier rigouresement les les distributions (ie... ailleur que rapidement mentioner par un prof de physique ^^ ) donc je vais probablement dire n'importe quoi.
enfin, vu que personne te répond je tente quand meme ma chance.
tu devrait regarder si la fonction définit par -1 sur R- et +1 sur R+ (valeur arbitraire en 0, c'est de mesure nul) n'est pas la dérivé de |x|.
pour le 2) je connait pas suffisement les distributions pour te répondre, mais j'imagine qu'on doit pouvoir montrer que non, soit parcequ'elle est discontinue, soit parceque sa "dérivé" est la distribution de dirac, qui n'est pas une fonction non ?
Ksilver donne de bonnes indications
Je ne pense pas qu'il y ait d'erreurs, même si cela fait longtemps que je n'ai pas manipulé rigoureusement les distributions.Envoyé par Ksilver
Pour la 1ère, il suffit de découper l'intégrale en deux (R+ et R-) et d'intégrer par partie sur chacune d'elles pour montrer que la dérivée faible est bien celle donnée par Ksilver.
Pour la deuxième, on a <f,dg/dx>=-g(0) pour toute g. Si f' existait on aurait <f',g>=0 pour toute fonction g à support dans R+ (resp. dans R-) donc f' est nulle presque partout sur R+ (resp.R-). Il s'ensuivrait que <f',g>=0 pour toute g ce qui est incompatible avec le fait que toutes les g ne vérifient pas g(0)=0.
1) Effectivement, la fonction valant -1 pour x<0 et 1 pour x>=0 convient.
2) On aurait <f',g>=g(0) pour tout g. Donc int(0,b, f'g) = 0 pour tout g dont le support est dans R+. Ainsi, f' est presque partout nulle et donc, <f',g>= 0 pour tout g!!
et bein merci beaucoup
vs avez absolument repondu a mes questions et j'ai bien tt assimilé.
A bientot bye!
