Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Convergence uniforme d'une suite de fonctions



  1. #1
    Bleyblue

    Convergence uniforme d'une suite de fonctions


    ------

    Bonjour,

    Si j'ai une suite de fonctions :



    pour savoir si elle converge simplement vers une fonction f(x) il suffit de vérifier que :



    mais pour savoir si elle converge uniformément je suis obligé de revenire à la définition ?
    Ou bien il existe une méthode ?

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Bleyblue

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Ah mais ça va, j'ai trouvé un théorème qui dit que si (fn) converge uniformément vers f et si tous les (fn) sont continues alors f est aussi continue.

  4. #3
    akabus47

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Bonsoir

    Oui d'accord tu viens de citer un theoreme , mais pour verifier qu'une suite de fonction converge uniformement , il y a quand meme une ou des verifications qui s'imposent .....

    Par exemple , si fn cvg spt vers f ,

    s'il existe en positive qui tend vers 0 en l'infini
    et N , tels que

    pour tout x de ton espace d'etude
    pour tout n>N ,

    norme de [ fn - f ] < en

    Alors il y a cvg unif

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Ah oui ça c'est la définition.
    Mais ce n'est pas toujours facile à appliquer, pour ça que je demandais s'il n'existait pas une méthode plus facile ...

    merci

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doudache

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Ah oui ça c'est la définition.
    Mais ce n'est pas toujours facile à appliquer, pour ça que je demandais s'il n'existait pas une méthode plus facile ...
    Salut !

    Il y a des théorèmes qui te donnent automatiquement la convergence uniforme s'il y a convergence simple vers une fonction continue. Par exemple les théorèmes de Dini sont très pratiques.

    Sinon, quand tes fonctions sont à valeur dans R, Rn (ou un espace complet), tu peux appliquer le critère de Cauchy :


  8. #6
    GuYem

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    +1 avec la réponse de Doudache, d'une manière générale la norme infinie est copine avec la convergence uniforme. Elle se determine souvent en regardant bien la fonction, ou au pire en faisant une étude de fonction bateau.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. Publicité
  10. #7
    space-kro

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Salut,

    une autre méthode consiste d'abord à étudier à n fixé :

    ||f-fn||inf=maxx ds D|f(x)-fn(x)| = mun

    cette étude se fait par une dérivation (étude de max) si les fonctions sont dérivables, ou sinon par "observation" sur la fonction.

    et ensuite tu vérifies que limn -> inf mun = 0

    et là alors tu a la convergence uniforme... je sais plus trop s'il y a équivalence entre la convergence uniforme et la limite de mun égale à zéro. Mais je sais qu'en tout cas c'est une condition suffisante.

  11. #8
    rvz

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Bonjour,

    Pour SpaceKro : Oui, il y a équivalence. C'est exactement la définition !

    En fait, pour résumer et répéter tout ce qui a déjà été dit, si on te demande d'étudier la convergence d'une suite de fonctions f_n:

    1/ Tu regardes si ça converge simplement, c'est-à-dire que pour tout x, tu te demandes si f_n(x) a une limite. Si la limite n'existe pas, il n'y a pas de convergence (ni simple ni uniforme). Si la limite existe, tu l'appelles f(x), et tu as convergence simple de f_n vers f.

    2/ A n fixé, tu regardes g_n = |f_n-f|, et tu te demandes quel est le maximum de cette fonction sur ton intervalle. Là encore, 2 cas :
    a/ Tu trouves des points x_n tels que g_n(x_n) est une suite supérieure à une certaine constante strictement positive. Dans ce cas, la convergence n'est pas uniforme.
    b/ Tu arrives à borner la norme infinie (norme du sup) de g_n par une suite e_n qui tend vers 0. Dans ce cas, la convergence est uniforme.

    Remarques :

    1/ Toutes ces considérations ne font sens que sur un intervalle I. En faisant des exercices, je suis sûr que tu trouveras bien vite des suites de fonctions qui convergent uniformément sur tout [a,1] pour a >0, mais qui ne convergent pas uniformément sur (0,1]. Par exemple, f_n = 1/(x+1/n) est comme ça.

    2/ Si à la fin de l'étape 1/, tu trouves que f est discontinue, alors que toutes les f_n sont continues, d'après le théorème que tu as cité, il ne peut pas y avoir convergence uniforme, et donc tu peux courcircuiter l'étape 2/.

    Bon, j'espère que j'ai été clair. J'attends aussi les remarques/commentaires/critiques des autres sur ce schéma d'étude de suite de fonctions, mais, perso, je n'utilise que ça !

    __
    rvz

  12. #9
    Bleyblue

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Ah je vois, mais ...

    En fait je ne sais pas ce que c'est que la norme infinie. Dans le cours que j'ai sous les yeux on définit juste la convergence simple, la convergence uniforme, et un ou deux théorèmes mais c'est tout.

    Pouvoir déterminer de manière rapide si une suite de fonctions converge uniformément c'est une question que je me suis moi même posée au vu des définitions (pas faciles à appliquer)

    Apparament je n'en connais pas encore assez ...

    merci bien
    Dernière modification par Bleyblue ; 01/07/2006 à 08h01.

  13. #10
    rvz

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Bonjour,

    Si si, tu en connais assez, la norme infinie, c'est la norme du sup, i.e sup {|f(x)| ; x dans I}. C'est juste un autre nom, qui vient du fait que l'on peut décrire toute une famille de norme par un indice p dans [1, \infty] par

    D'ailleurs, c'est un bon exo de démontrer que c'est bien une famille de normes,et que si tu prends une fonction continue, alors la norme p tend vers la norme infinie quand p tend vers l'infini.

    __
    rvz

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Ah ce n'est que le suprémum de l'ensemble image ...

    Bon, dans ce cas je vais prendre note de la méthode et essayer d'appliquer

    merci

  15. #12
    kandour

    Re : Convergence uniforme d'une suite de fonctions

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Bonjour,

    Pour SpaceKro : Oui, il y a équivalence. C'est exactement la définition !

    En fait, pour résumer et répéter tout ce qui a déjà été dit, si on te demande d'étudier la convergence d'une suite de fonctions f_n:

    1/ Tu regardes si ça converge simplement, c'est-à-dire que pour tout x, tu te demandes si f_n(x) a une limite. Si la limite n'existe pas, il n'y a pas de convergence (ni simple ni uniforme). Si la limite existe, tu l'appelles f(x), et tu as convergence simple de f_n vers f.

    2/ A n fixé, tu regardes g_n = |f_n-f|, et tu te demandes quel est le maximum de cette fonction sur ton intervalle. Là encore, 2 cas :
    a/ Tu trouves des points x_n tels que g_n(x_n) est une suite supérieure à une certaine constante strictement positive. Dans ce cas, la convergence n'est pas uniforme.
    b/ Tu arrives à borner la norme infinie (norme du sup) de g_n par une suite e_n qui tend vers 0. Dans ce cas, la convergence est uniforme.

    Remarques :

    1/ Toutes ces considérations ne font sens que sur un intervalle I. En faisant des exercices, je suis sûr que tu trouveras bien vite des suites de fonctions qui convergent uniformément sur tout [a,1] pour a >0, mais qui ne convergent pas uniformément sur (0,1]. Par exemple, f_n = 1/(x+1/n) est comme ça.

    2/ Si à la fin de l'étape 1/, tu trouves que f est discontinue, alors que toutes les f_n sont continues, d'après le théorème que tu as cité, il ne peut pas y avoir convergence uniforme, et donc tu peux courcircuiter l'étape 2/.

    Bon, j'espère que j'ai été clair. J'attends aussi les remarques/commentaires/critiques des autres sur ce schéma d'étude de suite de fonctions, mais, perso, je n'utilise que ça !

    __
    rvz
    une seul ajout si on veut par exemple etudier la cv uniforme
    sur [a,+linfin[ ilsuffit de voir convergence uniforme sur tout compact de [a,+linfin[

  16. Publicité

Discussions similaires

  1. Convergence d'une suite.
    Par Danke dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 25
    Dernier message: 09/10/2015, 18h46
  2. divergence ou convergence d'une suite !
    Par fusionfroide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 23
    Dernier message: 07/11/2007, 09h23
  3. Convergence uniforme d'une "famille" de fonctions ?
    Par Gpadide dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 27/02/2007, 19h01
  4. convergence d'une suite
    Par El Matador dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 01/12/2006, 22h24
  5. Convergence normale d'une suite de fonctions
    Par Quinto dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 29/06/2005, 01h10