Bonjour,
Si j'ai une suite de fonctions :
pour savoir si elle converge simplement vers une fonction f(x) il suffit de vérifier que :
mais pour savoir si elle converge uniformément je suis obligé de revenire à la définition ?
Ou bien il existe une méthode ?
merci
Ah mais ça va, j'ai trouvé un théorème qui dit que si (fn) converge uniformément vers f et si tous les (fn) sont continues alors f est aussi continue.
Bonsoir
Oui d'accord tu viens de citer un theoreme , mais pour verifier qu'une suite de fonction converge uniformement , il y a quand meme une ou des verifications qui s'imposent .....
Par exemple , si fn cvg spt vers f ,
s'il existe en positive qui tend vers 0 en l'infini
et N , tels que
pour tout x de ton espace d'etude
pour tout n>N ,
norme de [ fn - f ] < en
Alors il y a cvg unif
Ah oui ça c'est la définition.
Mais ce n'est pas toujours facile à appliquer, pour ça que je demandais s'il n'existait pas une méthode plus facile ...
merci
Salut !Envoyé par Bleyblue
Il y a des théorèmes qui te donnent automatiquement la convergence uniforme s'il y a convergence simple vers une fonction continue. Par exemple les théorèmes de Dini sont très pratiques.
Sinon, quand tes fonctions sont à valeur dans R, Rn (ou un espace complet), tu peux appliquer le critère de Cauchy :
+1 avec la réponse de Doudache, d'une manière générale la norme infinie est copine avec la convergence uniforme. Elle se determine souvent en regardant bien la fonction, ou au pire en faisant une étude de fonction bateau.
Salut,
une autre méthode consiste d'abord à étudier à n fixé :
||f-fn||inf=maxx ds D|f(x)-fn(x)| = mun
cette étude se fait par une dérivation (étude de max) si les fonctions sont dérivables, ou sinon par "observation" sur la fonction.
et ensuite tu vérifies que limn -> inf mun = 0
et là alors tu a la convergence uniforme... je sais plus trop s'il y a équivalence entre la convergence uniforme et la limite de mun égale à zéro. Mais je sais qu'en tout cas c'est une condition suffisante.
Bonjour,
Pour SpaceKro : Oui, il y a équivalence. C'est exactement la définition !
En fait, pour résumer et répéter tout ce qui a déjà été dit, si on te demande d'étudier la convergence d'une suite de fonctions f_n:
1/ Tu regardes si ça converge simplement, c'est-à-dire que pour tout x, tu te demandes si f_n(x) a une limite. Si la limite n'existe pas, il n'y a pas de convergence (ni simple ni uniforme). Si la limite existe, tu l'appelles f(x), et tu as convergence simple de f_n vers f.
2/ A n fixé, tu regardes g_n = |f_n-f|, et tu te demandes quel est le maximum de cette fonction sur ton intervalle. Là encore, 2 cas :
a/ Tu trouves des points x_n tels que g_n(x_n) est une suite supérieure à une certaine constante strictement positive. Dans ce cas, la convergence n'est pas uniforme.
b/ Tu arrives à borner la norme infinie (norme du sup) de g_n par une suite e_n qui tend vers 0. Dans ce cas, la convergence est uniforme.
Remarques :
1/ Toutes ces considérations ne font sens que sur un intervalle I. En faisant des exercices, je suis sûr que tu trouveras bien vite des suites de fonctions qui convergent uniformément sur tout [a,1] pour a >0, mais qui ne convergent pas uniformément sur (0,1]. Par exemple, f_n = 1/(x+1/n) est comme ça.
2/ Si à la fin de l'étape 1/, tu trouves que f est discontinue, alors que toutes les f_n sont continues, d'après le théorème que tu as cité, il ne peut pas y avoir convergence uniforme, et donc tu peux courcircuiter l'étape 2/.
Bon, j'espère que j'ai été clair. J'attends aussi les remarques/commentaires/critiques des autres sur ce schéma d'étude de suite de fonctions, mais, perso, je n'utilise que ça !
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rvz
Ah je vois, mais ...
En fait je ne sais pas ce que c'est que la norme infinie. Dans le cours que j'ai sous les yeux on définit juste la convergence simple, la convergence uniforme, et un ou deux théorèmes mais c'est tout.
Pouvoir déterminer de manière rapide si une suite de fonctions converge uniformément c'est une question que je me suis moi même posée au vu des définitions (pas faciles à appliquer)
Apparament je n'en connais pas encore assez ...
merci bien
Dernière modification par Bleyblue ; 01/07/2006 à 09h01.
Bonjour,
Si si, tu en connais assez, la norme infinie, c'est la norme du sup, i.e sup {|f(x)| ; x dans I}. C'est juste un autre nom, qui vient du fait que l'on peut décrire toute une famille de norme par un indice p dans [1, \infty] par
D'ailleurs, c'est un bon exo de démontrer que c'est bien une famille de normes,et que si tu prends une fonction continue, alors la norme p tend vers la norme infinie quand p tend vers l'infini.
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rvz
Ah ce n'est que le suprémum de l'ensemble image ...
Bon, dans ce cas je vais prendre note de la méthode et essayer d'appliquer
merci
une seul ajout si on veut par exemple etudier la cv uniforme
sur [a,+linfin[ ilsuffit de voir convergence uniforme sur tout compact de [a,+linfin[
