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divergence ou convergence d'une suite !



  1. #1
    fusionfroide

    Unhappy divergence ou convergence d'une suite !


    ------

    bonjour,

    audez moi s'il vous plait à résoudre cet exercice.

    j'ai une suite définie par



    je dois montrer quel est le comportement de cette suite, c'est à dire est ce que est divergente ou convergente.

    on à en developpant cette suite:





    est ce que vous pouvez me donner une indication s'il vous plait ?

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Salut !

    apres quelques "exprériences numériques", je dirait que la suite est décroissante à partir 'un certain rang (3, et strictement décroissante à partir du rang 4) et qu'elle tend vers 2.

    je cherche un moyen de le prouver maintenant...

  4. #3
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Un+1 = somme(0,n+1, (n+1)!/(n+1-k)!k!) = 1+ somme(0,n, n!/(n-k)!k! * (n+1)/(n+1-k) )

    donc Un+1-Un = 1 + somme(0,n, n!/(n-k)!k! *k/(n+1-k)) >=0 .
    Un serait croissante?!

  5. #4
    Ksilver

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    fait attention indian58, la dernier expression donné est fause (probalbment une petite fause de latex...)

    la suite que tu as étudié n'est autre que la suite 2^n, qui est effectivement croissante ^^

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    peut être il faut developper pour voir à quoi elle ressemble !


  8. #6
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par Ksilver Voir le message
    fait attention indian58, la dernier expression donné est fause (probalbment une petite fause de latex...)

    la suite que tu as étudié n'est autre que la suite 2^n, qui est effectivement croissante ^^
    Mdr!! Effectivement, j'avais pas fait attention.

    Bon, bah en faisant le même calcul, on a que Un est décroissante à partir d'un certain rang. Comme Un est positive, Un converge.

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  10. #7
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Pour n assez grand, 2<= Un = 2+ 2/n + somme(2,n-2, (n-k)!k!/n!) <= 2+2/n + (n-3)* (n-2)!*2*/n! <= 2 + 2/n + n * 2/n(n-1) <= 2+ 2/n + 2/(n-1) -> 2 et la messe est dite!

  11. #8
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Pour n assez grand, 2<= Un = 2+ 2/n + somme(2,n-2, (n-k)!k!/n!) <= 2+2/n + (n-3)* (n-2)!*2*/n! <= 2 + 2/n + n * 2/n(n-1) <= 2+ 2/n + 2/(n-1) -> 2 et la messe est dite!


    J'ai pas très bien compris comment tu as encadrè Un
    Dernière modification par fusionfroide ; 21/10/2007 à 18h20.

  12. #9
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    T'enlèves les termes pour k=0,n (ils valent 1), pour k=1,n-1 (ils valent 1/n) et les n-3 termes sont plus petits que la valeur en k=2 (ou n-2 par symétrie) i.e. 2*(n-2)!/n! = 2/n(n-2). Et voilà!

  13. #10
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    T'enlèves les termes pour k=0,n (ils valent 1), pour k=1,n-1 (ils valent 1/n) et les n-3 termes sont plus petits que la valeur en k=2 (ou n-2 par symétrie) i.e. 2*(n-2)!/n! = 2/n(n-2). Et voilà!
    je suis un, peu confu !

    voila ce que je trouve :



    je me trompe ?

  14. #11
    homotopie

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    je me trompe ?
    Malheureusement oui, tu n'as pas remplacé n par n+1 dans l'expression de U(n+1).

  15. #12
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    T'enlèves les termes pour k=0,n (ils valent 1), pour k=1,n-1 (ils valent 1/n) et les n-3 termes sont plus petits que la valeur en k=2 (ou n-2 par symétrie) i.e. 2*(n-2)!/n! = 2/n(n-2). Et voilà!
    Bon, jvais réexpliquer : dans ta somme, tu sépares les termes correspondant à k=0,1,n-1,n et les autres tu les majores par (n-2)!2!/n!.

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  17. #13
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Malheureusement oui, tu n'as pas remplacé n par n+1 dans l'expression de U(n+1).
    on a :

    non ?

  18. #14
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    on a :

    non ?
    Encore faux...

  19. #15
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    alors c'est

    non ?

  20. #16
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    alors c'est

    non ?
    non!! C'est


  21. #17
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Mais t'emm... pas à regarder Un+1 - Un! Mon encadrement te donne directement la convergence avec sa limite.

  22. #18
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Mais t'emm... pas à regarder Un+1 - Un! Mon encadrement te donne directement la convergence avec sa limite.
    ah ok moi je pensé que tu as obtenu cet encadrement en faison ce calcul

    pour la majoration :

    n-2 < n-1 ==> (n-2)! < (n-1)! ==> (n-2)!/n! > (n-1)!/n! ?

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  24. #19
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    ah ok moi je pensé que tu as obtenu cet encadrement en faison ce calcul

    pour la majoration :

    n-2 < n-1 ==> (n-2)! < (n-1)! ==> (n-2)!/n! > (n-1)!/n! ?
    non : tu as n-3 termes qui correspondent à k=2,...,n-2. Or ces termes plus petits que le terme en k=2. Or celui-ci vaut (n-2)!2!/n!.
    Donc la somme de ces n-3 termes est inférieure à (n-3)*2(n-2)!/n! <= n * 2(n-2)!/n! = 2/(n-1).

  25. #20
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    je suis désolé mais je ne comprends vraiment pas comment tu raisonne

    moi je sais que 2 <= Un après pour la majoré je ne sais pas par quoi commencer !

  26. #21
    breukin

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Il n'est pas difficile de montrer que les coefficients binomiaux sont croissants (en fonction de k) jusqu'à n/2 puis décroissants.
    Pour n>3, la somme des inverses des coefficients binomiaux peut être écrite comme:
    2 + 2/n + somme de 2 à n–2 (voir le message de indian58 qui explique pourtant bien).
    Chacun des n–3 termes de la sous-somme peut être majoré par son plus grand terme, lequel est obtenu en 2 ou en n–2 en vertu du comportement des coefficients binomiaux, et donc ici de leurs inverses.
    In fine, on trouve :

    2 + 2/n < Un < 2 + 4/n (pour n>3)

    PS. (n–3).2(n–2)!/n! = (2/n).(n–3)/(n–1) < 2/n

  27. #22
    indian58

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    C'est exactement ça! Il est vrai que j'aurais peut-être dû préciser que les coeff binomiaux sont croissants puis décroissants avec k mais bon, c'est plutôt évident.

  28. #23
    fusionfroide

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    en fait ce qui me poser un problème c'est le fait qu'on peut majorer une somme par le nombre de termes fois le dernier terme (chose que je ne savais pas)

    Sinon j'ai bien compris après ! merci en tout cas pour l'aide ! Au revoir.

  29. #24
    breukin

    Re : divergence ou convergence d'une suite !

    Ce n'est pas "par le dernier terme", mais par le plus grand.
    Cela dit, il n'y a pas lieu de savoir ou de ne pas savoir une telle chose.
    Soit m=maxi=1,...,n(ai) le plus grand des ai.
    Par définition, ai <= m pour tout i.
    Donc sommei=1,...,n(ai) <= n.m.
    Y a-t-il vraiment lieu d'en faire un théorème que l'on devrait "savoir" ?

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