divergence ou convergence d'une suite !
bonjour,
audez moi s'il vous plait à résoudre cet exercice.
j'ai une suite définie par
je dois montrer quel est le comportement de cette suite, c'est à dire est ce queest divergente ou convergente.
on à en developpant cette suite:
est ce que vous pouvez me donner une indication s'il vous plait ?
Salut !
apres quelques "exprériences numériques", je dirait que la suite est décroissante à partir 'un certain rang (3, et strictement décroissante à partir du rang 4) et qu'elle tend vers 2.
je cherche un moyen de le prouver maintenant...
Un+1 = somme(0,n+1, (n+1)!/(n+1-k)!k!) = 1+ somme(0,n, n!/(n-k)!k! * (n+1)/(n+1-k) )
donc Un+1-Un = 1 + somme(0,n, n!/(n-k)!k! *k/(n+1-k)) >=0 .
Un serait croissante?!
fait attention indian58, la dernier expression donné est fause (probalbment une petite fause de latex...)
la suite que tu as étudié n'est autre que la suite 2^n, qui est effectivement croissante ^^
peut être il faut developper
Mdr!! Effectivement, j'avais pas fait attention.Envoyé par Ksilver
Bon, bah en faisant le même calcul, on a que Un est décroissante à partir d'un certain rang. Comme Un est positive, Un converge.
Pour n assez grand, 2<= Un = 2+ 2/n + somme(2,n-2, (n-k)!k!/n!) <= 2+2/n + (n-3)* (n-2)!*2*/n! <= 2 + 2/n + n * 2/n(n-1) <= 2+ 2/n + 2/(n-1) -> 2 et la messe est dite!
J'ai pas très bien compris comment tu as encadrè Un
T'enlèves les termes pour k=0,n (ils valent 1), pour k=1,n-1 (ils valent 1/n) et les n-3 termes sont plus petits que la valeur en k=2 (ou n-2 par symétrie) i.e. 2*(n-2)!/n! = 2/n(n-2). Et voilà!
je suis un, peu confu !
voila ce que je trouve :
je me trompe ?
Malheureusement oui, tu n'as pas remplacé n par n+1 dans l'expression de U(n+1).
Bon, jvais réexpliquer : dans ta somme, tu sépares les termes correspondant à k=0,1,n-1,n et les autres tu les majores par (n-2)!2!/n!.
on a :
Encore faux...on a :
alors c'est
non!! C'estalors c'est
Mais t'emm... pas à regarder Un+1 - Un! Mon encadrement te donne directement la convergence avec sa limite.
ah ok moi je pensé que tu as obtenu cet encadrement en faison ce calcul
pour la majoration :
n-2 < n-1 ==> (n-2)! < (n-1)! ==> (n-2)!/n! > (n-1)!/n! ?
non : tu as n-3 termes qui correspondent à k=2,...,n-2. Or ces termes plus petits que le terme en k=2. Or celui-ci vaut (n-2)!2!/n!.
Donc la somme de ces n-3 termes est inférieure à (n-3)*2(n-2)!/n! <= n * 2(n-2)!/n! = 2/(n-1).
je suis désolé mais je ne comprends vraiment pas comment tu raisonne
moi je sais que 2 <= Un après pour la majoré je ne sais pas par quoi commencer !
Il n'est pas difficile de montrer que les coefficients binomiaux sont croissants (en fonction de k) jusqu'à n/2 puis décroissants.
Pour n>3, la somme des inverses des coefficients binomiaux peut être écrite comme:
2 + 2/n + somme de 2 à n–2 (voir le message de indian58 qui explique pourtant bien).
Chacun des n–3 termes de la sous-somme peut être majoré par son plus grand terme, lequel est obtenu en 2 ou en n–2 en vertu du comportement des coefficients binomiaux, et donc ici de leurs inverses.
In fine, on trouve :
2 + 2/n < Un < 2 + 4/n (pour n>3)
PS. (n–3).2(n–2)!/n! = (2/n).(n–3)/(n–1) < 2/n
C'est exactement ça! Il est vrai que j'aurais peut-être dû préciser que les coeff binomiaux sont croissants puis décroissants avec k mais bon, c'est plutôt évident.
en fait ce qui me poser un problème c'est le fait qu'on peut majorer une somme par le nombre de termes fois le dernier terme (chose que je ne savais pas)
Sinon j'ai bien compris après ! merci en tout cas pour l'aide ! Au revoir.
Ce n'est pas "par le dernier terme", mais par le plus grand.
Cela dit, il n'y a pas lieu de savoir ou de ne pas savoir une telle chose.
Soit m=maxi=1,...,n(ai) le plus grand des ai.
Par définition, ai <= m pour tout i.
Donc sommei=1,...,n(ai) <= n.m.
Y a-t-il vraiment lieu d'en faire un théorème que l'on devrait "savoir" ?
