Convergence d'une suite à deux indices

[GuYem]

Bonjour à tous.

Disons que j'ai une suite à deux indices n et k : .
Je suppose que, à k fixé, cette suite converge (donc quand n tend vers oo) vers un réel que j'appelle comme par hasard .
Je suppose aussi que le la suite converge, quand k tend vers oo cette fois, vers un réel

Maintenant je fais "dépendre k de n" via k(n) et je suppose que k(n) tend vers l'infini avec n. La question est immédiate : quid de la convergence de vers ?

La réponse est : il n'y a pas nécessairement convergence de la suite "diagonale" vers L, il suffit de prendre (kronecker) et k(n)=n pour avoir un contre-exemple.

Seulement voilà, et je vous remercie d'avoir lu jusque là, je suppose aussi que k(n) ne croit pas trop vite avec n, namely que

Quid alors de la convergence de vers ?

Merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut Guyem,

Eh ben, je dirai que c'est pareil.
Essaye des suites qui valent 0 pour k<f(n) et 1 ensuite, et l'inverse, et je pense que ça te donne toute la gamme de contre exemple que tu veux.

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rvz

[GuYem]

Salut rvz.

Aïe, ta réponse ne me convient pas, et pourtant finalement ce que tu me dis me convainc presque.

Mais il FAUT que ça marche !

Sinon on peut poser la question autrement : y-a-t-il certaines conditions sur la dépendance de k en n qui ferait converger la suite diagonale vers ce qu'on veut ?

[invite986312212]

à mon avis il faut aussi une condition sur la vitesse de convergence des suites "à k fixé". En estimation fonctionnelle (domaine des stats où on cherche à estimer un paramètre fonctionnel, i.e. qui appartient à un e.v de dimension infinie), on a souvent affaire à ce genre de choses. Par exemple étudier la convergence d'un estimateur par fonctions orthogonales quand la taille n de l'échantillon augmente ainsi que le nombre k de termes de la série.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Tout à fait d'accord avec Ambrosio. En fait, ce qu'il faut pour pouvoir intervertir des limites, c'est de l'uniformité, ou, dans ton cas, quand tu as des estimations sur k et n, une borne asymptotique sympathique.

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rvz

[GuYem]

Merci de tes eclaircissement Ambrosio.

Je pense que la vitesse de convergence à k fixé est en 1/sqrt(n).
En fait je ne suis pas trop loin de toi puisque chez moi il s'agit d'estimation de dimension de modèle : expliqué de trés loin :
-n est le nombre d'échantillon
-k la dimension d'un modèle à choisir

Quand n grandit, mon bidule tend vers une certaine entropie (qui dépend de k) à la vitesse de 1/sqrt(n) grace à la loi forte.
A n fixé, le L(k) tend vers une autre entropie (qui dépend plus de k).
Ensuite, à n fixé, on estime la dimension du modèle par un k(n) (plutôt pour plaire au statisticien que tu es), je veux savoir si mon bidule, pris en et n et k(n) tend vers l'entropie fixée ...

Pour rvz, je n'ai pas vraiment que ce que je fais c'est de l'interversion de limites, mais plutôt de la limite à la limite ...

[invite986312212]

en ce cas, il faudrait peut-être regarder les papiers sur le Cp de Mallows, ou le critère d'Akaike pour voir comment ça fonctionne (?). Sinon la remarque de rvz est correcte: une convergence uniforme est le plus sûr moyen d'arriver à ton but.

[GuYem]

Tu prononces des mots magiques pour moi Ambrosio !
Je travaille en effet sur le critères d'Akaike et les critères d'infos en général, par contre je ne connais pas le "Cp de Mallows".

Je ne saisis toujours pas le lien avec la convergence uniforme : comme dit dans le précédent message il ne s'agit pas ici d'intervertir limite sur k et sur n, mais bien de parcourir le "tableau" dont les entrées sont n et k selon une certaine "trajectoire" (n , k(n) ) et de voir si l'on se rapproche de L.

[invite6b1e2c2e]

En fait, si tu dis que pour tout k, la suite (u_n,k) tend vers L_k uniformément en k, et que L_k tend vers L quand k tend vers l'infini, il est assez facile de démontrer que u_n,k tend alors toujours vers L quand n et k tendent vers l'infini ensemble.

C'est à ma connaissance le seul critère qui donne ce résultat, et sauf erreur, c'est même une condition nécessaire et suffisante.

Cela dit, avec des conditions de croissance sur k vis à vis de n, il devient fort probable qu'on n'a plus besoin de conditions aussi fortes.

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rvz

[GuYem]

C'est justement ces conditions de croissance de k vis à vis de n que j'espère être satisfaite grace à l'hypothèse k(n) = o(n).

Mais j'avoue ne pas arriver à écrire de démonstration convaincante ..

[invite6b1e2c2e]

Est-ce que tu pourrais donner la suite en question, ou est-ce qu'elle est vraiment très moche à définir ?

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rvz

[GuYem]

Plutôt trés moche, je ne crois pas que ça aiderait, sorry.

[invite986312212]

J'ai peur qu'il n'y ait pas de théorème général qui t'aide à conclure et qu'il te faille montrer directement la convergence de la suite . La condition n'est pas suffisante (prends la suite ).

[GuYem]

J'en ai peur aussi ambrosio en effet.
Ce genre de contre exemple, comme l'avait dit rvz dans son premier message d'ailleurs, peut se construire dans toutes les situations.
Cependant il est tout de même trés pathologique, et je ne crois pas que cela se produira dans mon cas, il faut que je m'y penche de plus près ...

[GuYem]

Je reviens à la charge après un peu plus d'investigations :

Il ne semble pas pouvoir montrer de l'uniformité dans la convergence de a_nk vers L(k).
Par contre je peux supposer que L(k) converge L en décroissant, est-ce-que cela peut apporter quelque chose ?

[invite6b1e2c2e]

A priori je dirai que non, cf les contre exemples que Ambrosio et moi t'avons fourni.

Par contre, si en plus, tu peux démontrer des résultats de décroissance sur la suite a_(n, k(n)), peut-être que ça peut changer des choses.

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rvz

PS: Si si je travaille, la preuve, c'est que j'ai pas internet chez moi

[invite35452583]

Je pense que l'illustration géométrique suivante peut aider :
les points (k,n,) peuvent être représentés sur un quadrillage dont les mailles rétrécissent en abscisses et en ordonnées vers les "deux infinis" de telle manière que le quadrillage n'occupe qu'une partie finie de l'espace. J'appellerai ce "truc" la nappe.
Ensuite on peut insérer des paysages ou autres :
illustration du premier contre-exemple de rvz :
falaise de Douvre :
en partie à gauche et haute : le plateau (valeur 1)
en partie basse et à droite : la mer (valeur 0)
on peut choisir à peu près la courbe que l'on veut pour la limite de la falaise.
Dans cet exemple, la question est de savoir si la trajectoire définie par (k(n),n) se retrouve à un moment donné et ceci jusqu'à l'infini du côté de la mer dans ce cas il y a convergence de L(k) si la trajectoir passe régulièrement par la falaise et la mer pas de convergence, si elle passe intégralement sur la falaise : convergence vers 1 qui n'est pas la limite voulue.
De manière générale, la convergence vers les L(k) dit que le côté droit de la nappe est bien défini, le côté haut non nécessairement on peut insérer des vagues (type sin(1/x)) et de manière générale sans hypothèse supplémentaire la nappe peut ressembler à un océan déchaînée sans aucune régularité autres que du côté droit.
Sur ce côté il y a une bande de régularité :
converge avec n vers L(k) pour n assez grand est à une distance inférieure à un o(k). Mais cette bande peut être très fine (ou très vaste) mais pour tout o(k) elle existe. (Il peut y avoir encore des vagues et autres irrégularités mais de moins en moins haut et bas).
Pour montrer la convergence il fauttrouver une bande de régularité contenant la trajectoire (il suffit d'en posséder un morceau allant à l'infini).
L(k) décroissant, décroissant pour k fixé, suffisant ?
Non, côté droit une pente régulière mais les droites y=k pentes de plus en plus abruptes, genre escalier en colimaçon qu'on aurait renversé. On peut dessiner une trajectoire k et n tendant vers + infini donc en projection sur (k,n) se dirige vers le coin en haut à droite mais dont les ordonnées croîssent. Ceci dit mais si c'est insuffisant ça peut aider au moment de montrer des inégalités.
L'idée pour parvenir à démontrer la convergence est la bande de régularité
le o(k) se cherche en cherchant à majorer en fonction de k et n (ou que de k pour n assez grand) la différence L(k)-a (k,n) (est déjà montré que ça tend vers 0) : parfois des inégalités grossières suffisent. Là la décroissance peut servir.
C'est gagné si ce qui a été montré est définie pour une "bande" contenant la trajectoire (k(n),n).

[invite6b1e2c2e]

J'adore la vision des falaises et de la mer, c'est on ne peut plus explicite

Le problème c'est que Guyem ne parle que de la décroissance des L(k), et donc on sait pas trop ce qui se passe sur le reste de la suite.

Par contre, si on ajoute, comme je l'ai mentionnée plus haut, une hypothèse de décroissance sur a(n,k(n)), déjà, on sait que ça va converger, ce qui est une bonne chose . Après, pour que ça converge bien vers L, il va quand même falloir rajouter des choses (ie Regarder le comportement de la falaise ) .

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rvz

[invite986312212]

il y a un point que GuYem a un peu occulté, c'est que dans un contexte statistique, il s'agit de convergence de variables aléatoires (si j'ai bien compris). Vu qu'il y a pas mal de modes de convergence, ça ouvre peut-être des perspectives... il y a des outils probabilistes qui peuvent être invoqués (th de Donsker, inégalités DKW et de Vapnik-Chervonenkis, etc.).

[GuYem]

Merci à homotopie pour une bonne vision extérieure des choses !

Pour ambrosio en effet je n'ai pas parlé du mode de convergence, je cherche de la convergence presque-sure, donc il ne m'a pas paru utile d'en parler.

je me raccroche à ce que quelqu'un avec qui nous en avons parlé m'a dit : " pour que ça marche il faudrait que k(n) ne croisse pas trop vite avec n ". Là je lui ai dit que je pouvais prendre k(n) en o(n) et là il a dit : " ah oui alors ça va marcher ... " et nous n'en avons pas plus discuté.
Malheureusement je n'ai plus cette personne sous la main pour le moment ...