pti pb pour l'inversibilité d'une application (MPSI-MP)

[invitea48bae98]

Bonjour tout le monde, j'ai un DM de math a faire pendant les vacances, et j'ai un leger problème (a mon avis le raisonnement est ultra simple, mais bon je bute un peu...)

je m'explique

Soit E un R-ev
soient f et g 2 endomorphismes de E, on note fog=fg,f²=fof etc.........
soit k R,
on note Ak = { u endomorphisme de E/u²=ku}

question, soit u Ak, u peut-il être inversible?qu'est-ceque u dans ce cas?

en fait je comprends pas trop où l'énoncé veut en venir,
j'arrive pas a savoir s'il faut démontrer que u est oui ou non inversible, ou si oui mais sous certaine(s) condition(s)


en fait j'ai commencé par faire l'hypothèse que u est inversible, donc il existe u^-1 (dsl j'arrive pas trop en latex)/ uu^-1=e (on note IdE=e).
ce qui donne
uou = ku
<=> (uou)ou^-1=(ku)ou^-1
<=>u=k


voila ce que je trouve commene conclusion, si u est inversible, alors u=k
je vois pas trop a quoi ca ammène, si quelqu'uhn pouvait m'éclairer^^
merci d'avance (j'espère avoir été assez claire)



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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tu as démontré qu'une application u inversible de ton ensemble était forcément égale à k Id. (et donc tu peux voir de suite qu'il va falloir considérer deux cas différents : k=0, et k non nul)
Maintenant, si tu regardes les autres éléments de ton ensemble (il y en a, par exemple 0), qui sont-ils ?

Pour te donner une toute petite aide :
Que vérifie v= u/k ?

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rvz

[invitedf667161]

Salut, je pense que ton raisonnement est bon : si u est inversible alors u=k. Il faut comprendre par là que u=k.Id ; c'est à dire que u est l'homothétie de rapport k.

Mais il faut pousser un poil plus loin : si u est inversible alors u est l'homothétie de rapport k, certes, mais alors k doit être non nul ! Et oui, sinon u n'est plus inversible...

Réciproquement, si u est l'homotéhtie de rapport k non nul, alors elle est clairement inversible et dans A_k.

Moralité et réponse à la question :
-Si k est non nul et u est dans A_k, alors u est inversible ssi c'est l'homothétie de rapport k.
-Si k est nul alors u dans A_k vérifie u^2 = 0, c'est un diviseur de zéro et il n'est donc pas inversible.

EDIT : rvz, t'es pas au boulot !??

[invitea48bae98]

a oki, merci beaucoup, j'avais pas pensé a l'homotéthie, je voyais pas a quoi ca pouvait m'ammener le u=kId

merci beaucoup

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