transposée d'une application linéaire

[invited7555812]

Bonjour est-ce que quelqu'un peut me donner la définition et une explication de la transposée d'une application linéaire car je ne vois pas bien le lien avec la transposée d'une matrice... merci
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

en fait ce n'est pas définit...

on pourait dire en gros :
tu passe par les matrices : c'est l'application dont la matrice est la matrice transposé de celle de ton application de départ.

mais cette définition pose un probleme : si on change de base, on change d'application transposé.



la solution est de restreindre a une certain catégorie de base : les base orthonormale pour une certain produit scalaire... si tu calcule la transposé dans n'importe laquelle de ces bases tu trouvera toujours la meme chose... et on apelle cela l'endomorphisme adjoint plutot que transposé...

[invite5e1117d5]

En fait, si f : E -> F est une application linéaire entre deux espaces vectoriels, la transposée de f est l'application f^t : F*->E* (où E* et F* sont les duals respectifs de E et F) tel f^t(phi)=phi ° f (où ° désigne la composition).


Si tu prend E=F de dimension finie, tu te fixes une base, et tu considères sa duale. Tu peux montrer que la matrice de la transposée de f dans la base duale est la transposée de la matrice de f dans la base de départ.

Voilà.

[invited7555812]

je trouve pas ça super clair... :s

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Ba justement on est entrain de te dire que sa n'existe pas. mais qu'il y a une notion qui remplace cela : l'endomorphisme adjoint.


peut-etre devrait tu préciser un peu ta question ?

[invite5e1117d5]

je trouve pas ça super clair... :s

Qu'est-ce qui te pose problème dans la définition que je t'ai donnée ?

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Personnellement je trouve ça plus clair avec la notation "entre crochets". Pour x € E et a € E*, on écrit <a,x> la valeur de la forme linéaire a sur le vecteur x. Pareil pour <b,y> avec y € F et b € F*.

Si f est une application linéaire de E vers F, on a alors (par définition de la transposée) <b,f(x)> = (^tf(b),x>, et on voit que ^tf est une application de F* vers E*.

-- françois

[invited7555812]

ça va merci