Différentielles partielles, totales exactes et totales inexactes

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à faire la différence entre ces différentes différentielles, et plus particulièrement entre les différentielles totales exactes et les différentielles totales inexactes.

Commençons par les différentielles partielles : Pourquoi ne pas noter comme ceci ? Est-ce pour bien montrer qu'on a une fonction avec plusieurs variables ?

Puis ce qui est le plus flou dans mon esprit, c'est la différence entre les différentielles totales exactes et inexactes. De plus, comment passer d'une différentielle à l'autre ? (j'ai vu parfois dans des calculs ou même une égalité dans certains cas...)

Quelqu'un pourrait-il éclaircir mes idées ?

Merci d'avance
Phys2
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[invite4ef352d8]

Salut !

j'imagine que tu rencontre ce probleme en physique plutot non ?

enfait, la notation avec un d droit est réservé a une différentielle, mais je pense que pour bien comprendre ca il faut voir la définition mathématique d'une différentielle (enfin en tous cas pour moi cette distinction faite en physique a été tres flou jusqu'a ce que je l'étudie en math...)



la différentielle d'une application f (disont de R^p->R^q, mais sa na aucune importance) en un point a, c'est une APPLICATION linéaire f'(a). telle que f(a+h)=f(a)+f'(a)(h)+o(h)

(a et h sont des vecteurs de R^p, et f' c'est donc une application de R^p vers l'ensemble des application linéaire de R^p dans R^q)

en géneral on allège la notation en ecrivant f'(a).h au lieu de f'(a)(h). (on peut voir sa comme un produit matriciel par exemple, f'(a) c'est une appliction linéaire, représenté par une matrice, h un vecteur)

le principe de la notation différentielle, c'est de noter dx le h, et df la différentielle de f en x appliqué a dx.
cette notation est extremement puissante, car toute les regles de calcules avec les dérivé et différentielles sont complement intuitive avec ca...

dapres, d'ou vien la notation df/dx pour des fonction réel ? et bien, si tu a f de R->R, tu sais f(a+h)=f(a)+h*f '(a)+o(h)

donc la différentielle de f en a, c'est l'application h->h*f '(a).
donc df =f '(x)dx

ce qu'on ecrit aussi f'(x)=df/dx

donc pour revenir a ton exemple tu a une fonction f de R² dans R par exemple.

alors la différentielle de f est donné par df=(df/dx)dx+(df/dy)dy
(les d entre les parantheses sont des d rond !! )

et on utilise le d droit QUE quand c'est une différentielle.


la définition mathématique d'une différentielle exacte, ca demande à introduire un peu plus de choses, mais en gros on désigne par forme différentielle toute application de R^p vers l'ensemble des application linéaire de R^p dans R^q. et on dit qu'une forme différentielle est exacte si c'est la différentielle d'une application de R^p dans R^q. (ce n'est pas toujours le cas... si tu prend une forme au hasard c'est meme rarement le cas...)

[zoup1]

Tout d'abord, il s'agit de dérivées partielles et non pas de différentielles partielles.
La différence de notation est effectivement là pour signifier qu'il s'agit d'une fonction à plusieurs variables. Et rien d'autre à ma connaissance. Ce n'est d'ailleurs pas tout à fait comme cela qu'il faudrait l'écrire mais plutot :

ce qui signifie la dérivé de la fonction f par rapport à sa première variable, calculée au point de coordonnée (x,y)

l'expression avec les d "droits" laisse entendre qu'il s'agirait de l'expression de f(x,y) que l'on dérive par rapport à x... ce qui perd de son sens si par ailleur on est amené à écrire une relation liant x et y comme par exemple x²+y²=R² pour décrire une trajectoire circulaire.

[invite4ef352d8]

sinon, si en physique on note 'deltag environ dg", c'est plutot pour dire qu'on passe à la limite je pense... vous étiez entrain de faire un raisonement sur "une petit quantité" delta g, puis vous la prenez infiniement petite pour pouvoir utiliser le calcule différentielle et on la remplace par dg...


un exemple qui me vien à l'esprit c'est l'exemple de la chainette : tu as une chaine suspendu entre deux point, compose de maillon tres petit devant la distance entre deux points et tu cherche a savoir qu'elle forme elle prend... et bien tu commence a faire de la mécanique sur un maillon de longeur finit que tu note 'deltaL', puis pour faire ton calcule, tu remplace le deltaL par dl, pour obtenir une equation différentielle... c'est une approximation pour tenir compte du fait que "les maillons sont tres petits devant la distance entre les deux point" tu as bien consience que sans cette hypothese le résultat serait différent... et la résolution aussi (si par exemple ta chaine est composé de seulement 3 ou 4 maillons...)


mais bien entendu cela na rien e mathématique (le "environ" et le "delta" n'existe pas en math ! )

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

On peut toujours écrire la variation infinétésimales dF d'une Grandeur F en fonction des variations infinétésimales dx et dy d'autres grandeurs dont elle dépend x et y par exemple.

Cela donne dF = a.dx+b.dy c'est ce qu'on appelle une forme différentielle.
note bien que a et b sont à priori des fonctions de x et de y.

Cela ne veut pas pour autant dire que l'on peut écrire F comme une fonction de x et de y.

Si c'est le cas alors alors la forme différentielle est une différentielle totale exacte.
Si ce n'est pas le cas alors la forme différentielle n'est pas une différentielle totale exacte.


Il faut revenir à la physique pour voir ce que cela veut dire... L'exemple le plus parlant de grandeur pour laquelle la forme différentielle n'est pas une forme totale exacte est le travail d'une force de frottement.
La raison en est qu'on ne peut pas définir la travail d'une force de frottement comme une fonction de la position. En effet, ce travail dépend du chemin suivi et pas simplement de la position. Si je vais d'un point A à un point B en ligne droite ou en faisant des zigzags, le travail des forces de frottement ne sera pas le même.

Les mathématiques nous renseignent maintenant sur les conditions pour qu'une forme différentielle soit totale exacte. Il faut en effet que (il faut qu'il y ait égalité des dérivées croisées)...

[invite4ef352d8]

mais ca ce n'est pas une définition mathématique aussi ^^

[erff]

Je me permet de compléter un détail
Dans le cas de la chainette, ceci signifie que l'on passe d'un pb discret à un pb continu : en temps normal pr traiter reellement un tel pb, il faudrait faire appel à des suites, tenant compte de la longueur deltaL, et on traiterais un à un les maillon en écrivant pr chacun une RFD, qui donnerait une relation de récurrence que vérifie la suite....ce qui peut etre tres lourd en calcul si il y a un tres grand nbre de maillons...
Le fait d'écire dL nous permet d'intégrer plutôt que de sommer car une intégrale c'est plus facile a calculer qu'une somme grâce au fait que l'on peut primitiver...Ceci est une approximation d'un modèle et les résultat seront donc un peu en désaccord avec la réalité (si on veut être d'une rigueur implaccable).

[zoup1]

mais ca ce n'est pas une définition mathématique aussi ^^

Tout à fait... d'ailleurs cela fait bien longtemps que je ne sais plus rien écrire de mathématique...
C'est donc bien la réponse d'un physicien que la mienne.