Matrice d'une application semi-linéaire.

[invite42abb461]

Bonjour, un truc m'echappe dans cette notion :
on montre que y=u(x) ssi Y=AX*, pour x,y€E ou :
E est un EV complexe de dim n,
A est la matrice de u dans la base canonique,
X* est le vecteur dont toutes les composantes sont les conjuguées des composantes de X.
C'est ici que ca bloque: les multiplication de matrices deviennent confuses. Par exemple, lorsque l'on considere un vecteur Y=aX ou a est un complexe, on "multiplie" cette égalité par une matrice complexe A. La j'hesite entre AY*=a*AX* ou bien AY=aAX.
Dans le premier cas, cela voudrait dire qu'on a pour tout vecteur X, AX=AX* ??
Merci pour votre aide, je m'emmele (=
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[invite8b04eba7]

Salut !

Un application semi-linéaire est une application u entre deux espaces vectoriels complexes E et F vérifiant :

Maintenant, si les espaces E et F sont de dimensions finis, on peut définir la matrice A d'une telle application linéaire dans des base B = (e_i) et C = (f_j). Les éléments a_i,j de cette matrice sont définis par les relations

Du coup, si je dispose d'un vecteur x = x₁e₁ + ... + x_ne_n, j'obtiens

ce qui exprime simplement la relation . Du coup, si je regarde le vecteur ax, j'ai, au niveau des endomorphismes , ce qui se traduit au niveau des matrices de façon naturelle par .

Plus généralement, que devient la composition des morphismes au niveau des matrices ? Et bien il n'y en a pas, puis que la composée de deux applications semi-linéaires est linéaire. On a en fait, pour u et v deux endomorphismes semi-linéaires représentés par A et B :

Pourquoi cela marche dans le premier cas ? C'est juste parce que l'application x -> ax est linéaire et non pas semi-linéaire.

Dans tous les cas, je te déconseille de travailler avec des matrices dans le cas semi-linéaire.