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nature de série



  1. #1
    sothe2000

    nature de série


    ------

    Bonjour, j'ai decidement bcp de mal avec les series. il faut determiner la nature de

    Un = (-1)^(n+1) cos ( PI n^2 ln ( (n-1) / n ))

    avec comme indication que

    cos (x+k PI) = (-1)^k cos x

    moi j'ai trouvé en simplifiant :

    un = (-1)^(n+1) cos (- PI n)

    j'ai utilisé ln(1+t) = t

    et je me retrouve avec quelque chose qui ne correspond pas avec l'indication. j'ai du faire une erreur.

    Pourrait on me conseiller, merci ?

    -----

  2. #2
    indian58

    Re : nature de série

    regarde l'indication avec x=0 et k=-n !!

  3. #3
    doudache

    Re : nature de série

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    j'ai utilisé ln(1+t) = t
    Attention avec cette notation. Elle est fausse (sauf dans C[[t]]/(t2), ok). Il faut toujours garder le o ou le O, car sinon tu peux faire des erreurs du style : "puisque ln(1+t) = t, alors exp(ln(1+t)) = exp(t)".

    Autre chose : ce n'est pas parce que vn est équivalent à wn que f(vn) est équivalente à f(wn).

    Dans ton cas, tu dois pousser ton développement limité à un ordre supérieur pour pouvoir conclure quant à la natrue de un.

  4. #4
    sothe2000

    Re : nature de série

    merci pour tes réponses doudache.

    j'ai donc fait le dl de ln (1-x) = -x - ( x^2 / 2 ) + o (x^2)
    (ordre 2).

    or ln ( (n-1) / n ) = ln ( 1 - 1/n )

    ce qui donne avec x = 1/n

    ln ( 1 - 1/n ) = (-1/n) - (1/2n^2) + o (1/n^2)

    d'ou

    Un =
    (-1)^(n+1) cos (PI n^2 *(-1/n) - (1/2n^2) + o (1/n^2)

    = (-1)^(n+1) cos [ (-PI n) - (PI/2) + o (PI) ]

    avec l'indication cos (x+k PI) = (-1)^k cos x

    x= -PI/2 + o (PI) = PI/2 et k = - n

    >> Un = - cos ( PI / 2) = 0

    série nulle ????

    on ne peut donc pas dire si elle converge ou non ??

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    doudache

    Re : nature de série

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    x= -PI/2 + o (PI) = PI/2

    >> Un = - cos ( PI / 2) = 0

    série nulle ????
    Encore une fois tu ne gardes pas le petit o jusqu'à la fin . Tu dois obtenir cos (-pi/2 + o(pi)) = sin(o(pi)). Là, tu t'aperçois que tu n'es pas allée assez loin dans le développement.

    Réessaie en développant un cran de plus.

  7. #6
    sothe2000

    Re : nature de série

    Citation Envoyé par doudache Voir le message
    Tu dois obtenir cos (-pi/2 + o(pi)) = sin(o(pi)).
    au rang 2 j'obtiens bien

    Un = (-1)^(n-n+1) * cos (-pi/2 + o(pi))
    =0

    Il faut donc allez au rang 3 ? bon ben j'essaye

  8. #7
    sothe2000

    Re : nature de série

    au rang 3 j'obtiens:

    Un=

    (-1)^(n+1) * cos [ (-PI n) - (PI/2) - (PI/3n)+ o (PI/n) ]

    avec k = - n

    = - cos [ - (PI/2) - (PI/3n)+ o (PI/n) ]

    en + infini cela donne encore une limite de 0

    ou alors j'ai fait une faute

  9. #8
    doudache

    Re : nature de série

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message


    en + infini cela donne encore une limite de 0
    L'important ce n'est pas la limite, c'est l'équivalent ! C'est pour cela que tu pousses ton DL. Ici, tu as


    Le terme général de ta série est donc de la forme 1/n. Que peux-tu en déduire ?

  10. #9
    sothe2000

    Re : nature de série

    c'est une série de riemann (harmonique), elle diverge car alpha >= 1.

    merci bcp pour ton aide précieuse car tu me permet de comprendre le fonctionnement.

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