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nature de série numérique



  1. #1
    sothe2000

    nature de série numérique


    ------

    bonjour a tous, voici une série ou il faut determiner la nature suivant les valeurs de a.

    voici la série :

    Un = ( n! a^n ) / n^n

    je pense que dans ce cas il faut utiliser d'alembert

    avec Un+1 / Un seulement je m'en sors pas avec les valeurs de a .

    merci pour votre aide

    -----

  2. #2
    doudache

    Re : nature de série numérique

    Salut !

    Essaie de déterminer un équivalent en utilisant la formule de Stirling. Pour certaines valeurs de a tu auras peut-être quelques problèmes, n'hésite pas à nous en faire part.

  3. #3
    indian58

    Re : nature de série numérique

    Essaye avec la règle de Cauchy.

  4. #4
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    la formule de stirling est

    n!= racine ( 2 PI n ) * (n / e )^n

    cela donne

    Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n

    et quand a = e cela donne

    Un = racine ( 2 PI n )

    je n'arrive pas à trouver la limite en + inf

    j'ai essayé le dl de e^x mais a priori cela ne marche pas non plus

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    indian58

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    la formule de stirling est

    n!= racine ( 2 PI n ) * (n / e )^n
    Attention! C'est faux ce que tu écris:

    Dernière modification par indian58 ; 23/08/2006 à 16h44.

  7. #6
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    oui mais comment utiliser cauchy à partir de ca ?

  8. #7
    doudache

    Re : nature de série numérique

    Tu as obtenu l'équivalent suivant pour un


    Essaie de distinguer les cas suivants :
    - si |a| >= e, que peux-tu dire de la limite de un, et donc de la nature de la série ?
    - si |a| < e, essaie de montrer que la série converge.

  9. #8
    indian58

    Re : nature de série numérique

    Avec cauchy, il faut regarder Un^(1/n) à l'infini. Or
    .


    A toi de trouver la limite de cette suite.

  10. #9
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n

    et quand a = e cela donne

    Un = racine ( 2 PI n )
    est ce que cela est correcte au moins ?

    merci

  11. #10
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    est ce que je peux m'aider de la fonction pour determiner la limite ?

  12. #11
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    [si a >=e lim un en + infini = +infini * +infini = +infini
    [ca diverge
    [
    [ (a/e)^n va vers + infini car a/e >1


    si a<e alors on a une fonction décroissante donc la somme de Un converge vers 0 d'ou forme indetermine 0 * infini

    comment peut on contourner ce problème, avec les dls ?

    et est ce que le début est correcte ?

    merci

  13. #12
    Scorp

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    [si a >=e lim un en + infini = +infini * +infini = +infini
    [ca diverge
    [
    [ (a/e)^n va vers + infini car a/e >1


    si a<e alors on a une fonction décroissante donc la somme de Un converge vers 0 d'ou forme indetermine 0 * infini

    comment peut on contourner ce problème, avec les dls ?

    et est ce que le début est correcte ?

    merci
    Pour a>e je suis d'accord ca diverge. Mais pourquoi ne pas utiliser d'Alembert pour la convergence, ca marche très bien il me semble. Il ne faut pas oublier que tu as ici une série entière. Et attention avec tes = (dans le post #9), ce sont en fait des équivalents (pour les séries, ca te permet de conclure que si Un>0)

  14. #13
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    je ne vois pas comment utiliser d'alembert dans ce cas car on se retrouve avec des limites du style infini / infini et * infini ???

  15. #14
    Scorp

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    je ne vois pas comment utiliser d'alembert dans ce cas car on se retrouve avec des limites du style infini / infini et * infini ???
    Ha non je ne crois pas. En tout cas, j'arrive à conclure pour a<e. Tu peux me donner ton calcul de limite stp.

  16. #15
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    d'alenbert c'est lim en +infini de (Un+1 / Un) et ca converge si lim < 1.

    ici Un = [ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] / e^n

    d'ou Un+1 = [ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] / e^n+1

    d'ou Un+1 / Un =

    [ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] * e^n
    ----------------------------------------
    [ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] * e^n+1


    a^n+1 / e^n+1 tend vers 0


    a^n / e^n tend vers infini

    forme indeterminé

  17. #16
    Scorp

    Re : nature de série numérique

    Pourquoi passe tu par l'équivalent du factoriel, tu n'en a pas besoin. D'alembert simplifie justement très bien ce type d'expresion, puisque . Et il me semble qu'après simplification de tu peux conclure pour tous les cas, sauf celui de a=e.

  18. #17
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    mais si l'on fait comme ca

    un+1----(n+1) a^(n+1) n^n
    ---- = ---------------------
    Un-----(n+1)^(n+1) a^n

    et comme on utilise pas stirling avec n!, le e n'apparait pas.

    il y a quelque chose qui doit m'echapper.

    merci

  19. #18
    chwebij

    Re : nature de série numérique

    oui mais l'exponentielle est sournois et se cache souvent dans les expressions du genre n^n
    car


    si par pur hasard tu tombes sur

    et bien tu peux le reecrire sous la forme

    ce qui donne

    apres un petit DL l'affaire est dans le sac!

  20. #19
    Scorp

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    mais si l'on fait comme ca

    un+1----(n+1) a^(n+1) n^n
    ---- = ---------------------
    Un-----(n+1)^(n+1) a^n

    et comme on utilise pas stirling avec n!, le e n'apparait pas.

    il y a quelque chose qui doit m'echapper.

    merci
    Suit le conseil de chwebij pour faire apparaitre ton e. Mais d'abord, il faut que tu simplifie au maximum ton expression : il ya encore pas mal de chose que tu peux "enlever" là

  21. #20
    indian58

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message

    si par pur hasard tu tombes sur

    et bien tu peux le reecrire sous la forme

    ce qui donne

    apres un petit DL l'affaire est dans le sac!
    Il y a plus rapide: notons . Alors, et la limite est immédiate.

  22. #21
    sothe2000

    Re : nature de série numérique

    grace a votre aide j'ai trouvé pour dire que ca converge mais en quoi le cas a = e est un cas particulier ??comme me le dit l'énoncé ?

  23. #22
    chwebij

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Il y a plus rapide: notons . Alors, et la limite est immédiate.
    immediate?mais pour le prouver il faut passer par l'exponentielle et le log, non??

  24. #23
    Scorp

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    grace a votre aide j'ai trouvé pour dire que ca converge mais en quoi le cas a = e est un cas particulier ??comme me le dit l'énoncé ?
    Là je ne sais pas ce que demande ton énoncé. Il me semble que l'on a déjà étudié le cas a=+e : on a montré que Un ne tendait pas vers 0 dans les deux cas. Pour moi, ce cas là était juste le cas des points du bord (le rayon de convergence étant e). C'est aussi le cas où la règle de d'Alembert ne nous permettait pas de conclure car la limite de U(n+1)/Un tendait vers 1.

  25. #24
    indian58

    Re : nature de série numérique

    Citation Envoyé par chwebij Voir le message
    immediate?mais pour le prouver il faut passer par l'exponentielle et le log, non??
    Si, c'est immédiat car comme définition (notemment au lycée), e est l'inverse de la limite de cete suite.

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