bonjour a tous, voici une série ou il faut determiner la nature suivant les valeurs de a.
voici la série :
Un = ( n! a^n ) / n^n
je pense que dans ce cas il faut utiliser d'alembert
avec Un+1 / Un seulement je m'en sors pas avec les valeurs de a .
merci pour votre aide
Salut !
Essaie de déterminer un équivalent en utilisant la formule de Stirling. Pour certaines valeurs de a tu auras peut-être quelques problèmes, n'hésite pas à nous en faire part.
Essaye avec la règle de Cauchy.
la formule de stirling est
n!= racine ( 2 PI n ) * (n / e )^n
cela donne
Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n
et quand a = e cela donne
Un = racine ( 2 PI n )
je n'arrive pas à trouver la limite en + inf
j'ai essayé le dl de e^x mais a priori cela ne marche pas non plus
Attention! C'est faux ce que tu écris:Envoyé par sothe2000
oui mais comment utiliser cauchy à partir de ca ?
Tu as obtenu l'équivalent suivant pour un
Essaie de distinguer les cas suivants :
- si |a| >= e, que peux-tu dire de la limite de un, et donc de la nature de la série
- si |a| < e, essaie de montrer que la série converge.
Avec cauchy, il faut regarder Un^(1/n) à l'infini. Or
A toi de trouver la limite de cette suite.
est ce que cela est correcte au moins ?Un= [ racine ( 2 PI n ) * a^n ] / e^n
et quand a = e cela donne
Un = racine ( 2 PI n )
merci
est ce que je peux m'aider de la fonction pour determiner la limite ?
[si a >=e lim un en + infini = +infini * +infini = +infini
[ca diverge
[
[ (a/e)^n va vers + infini car a/e >1
si a<e alors on a une fonction décroissante donc la somme de Un converge vers 0 d'ou forme indetermine 0 * infini
comment peut on contourner ce problème, avec les dls ?
et est ce que le début est correcte ?
merci
Pour a>e je suis d'accord ca diverge. Mais pourquoi ne pas utiliser d'Alembert pour la convergence, ca marche très bien il me semble. Il ne faut pas oublier que tu as ici une série entière. Et attention avec tes = (dans le post #9), ce sont en fait des équivalents (pour les séries, ca te permet de conclure que si Un>0)
je ne vois pas comment utiliser d'alembert dans ce cas car on se retrouve avec des limites du style infini / infini et * infini ???
Ha non je ne crois pas. En tout cas, j'arrive à conclure pour a<e. Tu peux me donner ton calcul de limite stp.
d'alenbert c'est lim en +infini de (Un+1 / Un) et ca converge si lim < 1.
ici Un = [ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] / e^n
d'ou Un+1 = [ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] / e^n+1
d'ou Un+1 / Un =
[ ( racine ( 2 PI n+1 )) * a^n+1 ] * e^n
----------------------------------------
[ ( racine ( 2 PI n )) * a^n ] * e^n+1
a^n+1 / e^n+1 tend vers 0
a^n / e^n tend vers infini
forme indeterminé
Pourquoi passe tu par l'équivalent du factoriel, tu n'en a pas besoin. D'alembert simplifie justement très bien ce type d'expresion, puisque
mais si l'on fait comme ca
un+1----(n+1) a^(n+1) n^n
---- = ---------------------
Un-----(n+1)^(n+1) a^n
et comme on utilise pas stirling avec n!, le e n'apparait pas.
il y a quelque chose qui doit m'echapper.
merci
oui mais l'exponentielle est sournois et se cache souvent dans les expressions du genre n^n
car
si par pur hasard tu tombes sur
et bien tu peux le reecrire sous la forme
ce qui donne
apres un petit DL l'affaire est dans le sac!
Suit le conseil de chwebij pour faire apparaitre ton e. Mais d'abord, il faut que tu simplifie au maximum ton expression : il ya encore pas mal de chose que tu peux "enlever" là
Il y a plus rapide: notons
si par pur hasard tu tombes sur
et bien tu peux le reecrire sous la forme
ce qui donne
apres un petit DL l'affaire est dans le sac!
grace a votre aide j'ai trouvé pour dire que ca converge mais en quoi le cas a = e est un cas particulier ??comme me le dit l'énoncé ?
immediate?mais pour le prouver il faut passer par l'exponentielle et le log, non??Il y a plus rapide: notons
Là je ne sais pas ce que demande ton énoncé. Il me semble que l'on a déjà étudié le cas a=+e : on a montré que Un ne tendait pas vers 0 dans les deux cas. Pour moi, ce cas là était juste le cas des points du bord (le rayon de convergence étant e). C'est aussi le cas où la règle de d'Alembert ne nous permettait pas de conclure car la limite de U(n+1)/Un tendait vers 1.
Si, c'est immédiat car comme définition (notemment au lycée), e est l'inverse de la limite de cete suite.immediate?mais pour le prouver il faut passer par l'exponentielle et le log, non??
