Bonjour à tous. J'ai un problème dans une étude de série. Il faut étudier la nature de la série
Un =
( n^2 - 5n + 1 )^ ( n^2 )
( ------------- )
( n^2 - 4n - 2 )
j'ai calculé comme suit :
Un = ... = exp ( n^2 ln ( 1 + [ (- n +3) / (n^2 - 4n - 2) ]
avec ln ( 1 + t ) = t (en 0)
je termine par lim Un = 0 (en + inf)
Or cela ne suffit à prouver que la série converge.
Que faut - il faire dans ce cas ? calculer la somme ?
Merci pour votre aide !!
Salut !
Dans la plupart des exercices demandant la nature de séries, le terme général tend vers 0, et effectivement ça ne te permet pas de conclure.
Pour obtenir plus d informations, il faut par exemple déterminer un équivalent de ton terme général (ce qui te permet de conclure quand la série est à termes de signes constants).
Tu peux aussi chercher à minorer ton terme général par celui d une série divergente (ou majorer par celui d une série convergente).
Salut,
ici je doute que tu puisses exprimer facilement la somme ou trouver un truc intéressant à partir des sommes partielles.
Je te conseille de faire un développement en éléments simples, à priori, ca pourrait t'aider, d'autant plus que, si je n'en suis d'ordinaire pas fan, celui ci est très facile, le numérateur étant "similaire" au dénominateur.
Bonne chance,
a+
Il te "suffit" de faire un développement limité de Un mais fais bien attention à bien pousser ton ordre.
je n'arrive pas en faisant le dl. ca ne donne rien de bon.
et pour le devt en elements simples. c'est déja fait non ?
Un = ... = exp ( n^2 ln ( 1 + [ (- n +3) / (n^2 - 4n - 2) ]
ca ne marche pas non plus avec cauchy : on trouve la valeur 1 (on ne peut donc conclure sur la divergence ou convergence).
Essaie d'utiliser une majoration plutôt. J'essaie de mon côté.
Tu cherches un équivalent de Un en faisant un DL de la fraction (tu l'écrit tout d'abord de la forme 1+ fraction et tu mets 1/n² en facteur dans la deuxième fraction). Puis tu fait un DL de A=ln(1+ DL de la fraction) et enfin du fait un DL de exp(A).
excuse moi mais j'ai essayé et ca ne marche pas. ou alors je n'ai pas su comprendre à quel endroit il faut mettre en facteur 1/n^2.
Merci
.
pour l'instant j'ai fait le dl de 1/(1-x) jusqu'à l'ordre 2 avec
x= (4n+2) / n^2
1/(1-x) ~ 1 + x + o(x^2)
~ 1 + [ (4n+2) / n^2 ] + o(n)
ce qui donne Un =
exp ( n^2 * ln ( 1 + [ (3-n) / n^2 ] [ 1 + [ (4n+2) / n^2 ] + o(n) ]
= ... = exp ( n^2 * ln ( 1 + [ (-n^3 - n^2 + 10n + 6) / n^4 ] + o[(3n - n^2)/n^2)]
je continue avec le dl de ln à l'ordre 1... est ce que jusqu'ici cela parait correct. le bon ordre ? je suis un peu perdu
merci pour votre aide.
je trouve
Un = exp (-n - 1 + (10/n) + (6/n^2) + o(3n-n2))
~ 1 - -n - 1 + (10/n) + (6/n^2) + o(3n-n2))
~ -n + o(3n-n2))
est ce que une série peut avoir comme limite en + infini une valeur de - l'infini ???
elle diverge donc ??
FAUX:Envoyé par sothe2000
oui mais faut-il s'arreter à l'ordre 2 ou pas ?
et le résultat est correct ?
merci
Oui il faut aller à l'ordre 2 mais tu avais oublié le terme d'ordre deux.
