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série numérique



  1. #1
    sothe2000

    série numérique


    ------

    Bonjour à tous. J'ai un problème dans une étude de série. Il faut étudier la nature de la série

    Un =
    ( n^2 - 5n + 1 )^ ( n^2 )
    ( ------------- )
    ( n^2 - 4n - 2 )


    j'ai calculé comme suit :

    Un = ... = exp ( n^2 ln ( 1 + [ (- n +3) / (n^2 - 4n - 2) ]


    avec ln ( 1 + t ) = t (en 0)


    je termine par lim Un = 0 (en + inf)


    Or cela ne suffit à prouver que la série converge.

    Que faut - il faire dans ce cas ? calculer la somme ?

    Merci pour votre aide !!

    -----
    Dernière modification par sothe2000 ; 22/08/2006 à 20h26.

  2. #2
    doudache

    Re : série numérique

    Salut !

    Dans la plupart des exercices demandant la nature de séries, le terme général tend vers 0, et effectivement ça ne te permet pas de conclure.

    Pour obtenir plus d informations, il faut par exemple déterminer un équivalent de ton terme général (ce qui te permet de conclure quand la série est à termes de signes constants).

    Tu peux aussi chercher à minorer ton terme général par celui d une série divergente (ou majorer par celui d une série convergente).

  3. #3
    Quinto

    Re : série numérique

    Salut,
    ici je doute que tu puisses exprimer facilement la somme ou trouver un truc intéressant à partir des sommes partielles.
    Je te conseille de faire un développement en éléments simples, à priori, ca pourrait t'aider, d'autant plus que, si je n'en suis d'ordinaire pas fan, celui ci est très facile, le numérateur étant "similaire" au dénominateur.

    Bonne chance,
    a+

  4. #4
    indian58

    Re : série numérique

    Il te "suffit" de faire un développement limité de Un mais fais bien attention à bien pousser ton ordre.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    sothe2000

    Re : série numérique

    je n'arrive pas en faisant le dl. ca ne donne rien de bon.

    et pour le devt en elements simples. c'est déja fait non ?

    Un = ... = exp ( n^2 ln ( 1 + [ (- n +3) / (n^2 - 4n - 2) ]

  7. #6
    sothe2000

    Re : série numérique

    ca ne marche pas non plus avec cauchy : on trouve la valeur 1 (on ne peut donc conclure sur la divergence ou convergence).

  8. #7
    doudache

    Re : série numérique

    Essaie d'utiliser une majoration plutôt. J'essaie de mon côté.
    Dernière modification par doudache ; 23/08/2006 à 14h48.

  9. #8
    indian58

    Re : série numérique

    Tu cherches un équivalent de Un en faisant un DL de la fraction (tu l'écrit tout d'abord de la forme 1+ fraction et tu mets 1/n² en facteur dans la deuxième fraction). Puis tu fait un DL de A=ln(1+ DL de la fraction) et enfin du fait un DL de exp(A).

  10. #9
    sothe2000

    Re : série numérique

    excuse moi mais j'ai essayé et ca ne marche pas. ou alors je n'ai pas su comprendre à quel endroit il faut mettre en facteur 1/n^2.

    Merci

  11. #10
    indian58

    Re : série numérique

    .

  12. #11
    sothe2000

    Re : série numérique

    pour l'instant j'ai fait le dl de 1/(1-x) jusqu'à l'ordre 2 avec

    x= (4n+2) / n^2

    1/(1-x) ~ 1 + x + o(x^2)

    ~ 1 + [ (4n+2) / n^2 ] + o(n)

    ce qui donne Un =

    exp ( n^2 * ln ( 1 + [ (3-n) / n^2 ] [ 1 + [ (4n+2) / n^2 ] + o(n) ]

    = ... = exp ( n^2 * ln ( 1 + [ (-n^3 - n^2 + 10n + 6) / n^4 ] + o[(3n - n^2)/n^2)]

    je continue avec le dl de ln à l'ordre 1... est ce que jusqu'ici cela parait correct. le bon ordre ? je suis un peu perdu

    merci pour votre aide.

  13. #12
    sothe2000

    Re : série numérique

    je trouve

    Un = exp (-n - 1 + (10/n) + (6/n^2) + o(3n-n2))

    ~ 1 - -n - 1 + (10/n) + (6/n^2) + o(3n-n2))

    ~ -n + o(3n-n2))

    est ce que une série peut avoir comme limite en + infini une valeur de - l'infini ???
    elle diverge donc ??

  14. #13
    indian58

    Re : série numérique

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    pour l'instant j'ai fait le dl de 1/(1-x) jusqu'à l'ordre 2 avec

    x= (4n+2) / n^2

    1/(1-x) ~ 1 + x + o(x^2)

    ~ 1 + [ (4n+2) / n^2 ] + o(n)
    FAUX:

  15. #14
    sothe2000

    Re : série numérique

    oui mais faut-il s'arreter à l'ordre 2 ou pas ?
    et le résultat est correct ?

    merci

  16. #15
    indian58

    Re : série numérique

    Oui il faut aller à l'ordre 2 mais tu avais oublié le terme d'ordre deux.

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