SAlut à tous!
Qq un peut-il m'aider à résoudre cet exercice, car g un peu de mal à visionner la symétrie. Dans le plan euclidien R² muni de la base canonique, quelle est la matrice de la symétrie par rapport à la droite d'équation 3x-y=0
merci d'avance
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Salut,
Il te faut donc déterminer l'image par la symétrie des vecteurs (1,0) et (0,1).
Ca va demander des calculs alors tant qu'a faire on cherche l'image d'un vecteur quelconque (Xo,Yo)
Il s'agit d'une symétrie par rapport à une droite donc :
1) Tu détermines l'équation de la perpendiculaire à la droite passant par (Xo,Yo)
2) Tu détermines (X1,Y1) l'intersection de la perpendiculaire à la droite
3) Tu sais que (X1,Y1) est à égale distance du symétrique de (Xo,Yo) (vu qu'il se trouve sur la droite) donc si (X2,Y2) est le point que tu cherches :
(X2 + X0)/2 = X1
(Y2 + Y0)/2 = Y1
Et tu y es ...
C'est une méthode un peu compliquée. Je te propose une autre solution :
Tu cherches une symétrie, donc un vecteur directeur de ta droite, par exemple (1,3), est invariant par la symétrie. Cela te donne deux équations.
Un vecteur orthogonal à cette droite, par exemple (-3,1), est transformé par cette symétrie en son opposé.
Cela te donne deux autres équations.
Tu peux ainsi résoudre ton problème, car tu cherches une matrice 2x2, soit 4 coefficients.
Salut !
Je donne une formule simple pour trouver tout d'un coup, pour ceux qui ne la connaissent pas : si U est un vecteur directeur unitaire de la droite on a les différentes formules pour :
- la projection orthogonale sur la droite :
- la projection orthogonale sur l'hyperplan orhogonal à la droite :
- la symétrie orthogonale par rapport à la droite :
- la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan orthogonal à la droite :
C'est un petit exercice sympa de montrer ces formules.
