différence entre symboles des dérivées partielles

[invitefb392423]

bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre le (dx/dt) droit et celui avec des d ronds. En physique il disent qu'une se fait avec le mouvement ou le temps l'autre pas. Et si quelqu'un avait un exemple...

-----

[inviteaeeb6d8b]

Je vais te donner un exemple :

tu prends une fonction f(t) (elle ne dépend que d'un paramètre).

Si tu la dérives tu fais : df/dt

Maintenant si tu prends f(x,y) (elle dépend de 2 paramètres).
Si tu la dérives, tu peux la dériver par rapport à chacun des paramètres : df/dx est la dérivée par rapport à x et df/dy est la dérivée par rapport à y !

Alors df/d(x,y) = df/dx + df/dy

donc pour le premier exemple : df/dt = df/dt

Voilà !

[invite9c9b9968]

Maintenant si tu prends f(x,y) (elle dépend de 2 paramètres).
Si tu la dérives, tu peux la dériver par rapport à chacun des paramètres : df/dx est la dérivée par rapport à x et df/dy est la dérivée par rapport à y !

Alors df/d(x,y) = df/dx + df/dy

Ouille ouille ouille...

Bon d'abord une fonction de plus d'une variable ne se dérive pas, elle se différentie .

Donc df/d(x,y) n'a pas de sens, car dès que l'on se place dans le plan ou l'espace, il faut préciser une direction si tu veux dériver, or il y a une infinité de possibilités

Ce que tu fais avec les "d ronds", c'est une dérivation partielle. De ce point de vue, ce que dis Romain est juste, tu fixe une des variables comme paramètre, et tu dérive par rapport à l'autre comme tu le fais classiquement pour une fonction d'une seule variable.

Par contre, si tu t'intéresse à la différentiabilité totale de la fonction, on a alors la définition suivante :

f différentiable en a=(x0,y0) si et seulement si il existe une application linéaire appellée différentielle de f en a et notée de dans telle que

Il se trouve que cela contient la dérivée, et l'application linéaire est alors . Donc

Ensuite, quand les dérivées partielles existent, il se trouve que tu peux écrire (exemple en 2D)

où dx et dy sont des formes linéaires (c'est une notation), qui donne la projection de h sur ex et sur ey respectivement (en prenant ex et ey comme base de l'espace, et sachant qu'un vecteur quelconque s'écrit x.ex + y.ey).

A une variable, on retrouve donc . C'est une petite justification de la notation df/dx (car dans ce cas, on écrit avec des d droits, il y a identité entre d ronde et d droit à une dimension bien évidemment).

@+

Julien

[invitefb392423]

Bon, par exemple la dérivée de g(r(t),t) ou r es tun vecteur, cela donne quoi?
si quelqu'un pouvait me détailler le résultat, et sans nabla pour commencer...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec314d025]

Bon d'abord une fonction de plus d'une variable ne se dérive pas, elle se différentie

En fait on dit les deux.

Pour en revenir au côté physique, tu peux aller voir ici.

[invitebb921944]

Bon, par exemple la dérivée de g(r(t),t) ou r es tun vecteur, cela donne quoi?
si quelqu'un pouvait me détailler le résultat, et sans nabla pour commencer...

Ben justement ça dépend par rapport à quelle variable tu dérives ta fonction.

Par exemple, si je dérive u(x) par rapport à x, j'obtiens
d(u(x))/dx

Si je la dérive par rapport à u(x), j'obtiens
d(u(x))/d(u(x))=1

Tu peux dériver ta fonction g par rapport à t, r(t) ou x ou y ou ce que tu veux mais il faut le préciser.

[invite8b04eba7]

Bon, par exemple la dérivée de g(r(t),t) ou r es tun vecteur, cela donne quoi?

C'est un problème de dérivation composée : g composée avec la fonction t-> (r(t),t); si tu note s la première variable et t la seconde, tu as

[invite9c9b9968]

En fait on dit les deux.

Alors là ! Je ne savais pas, merci de l'info.

Quand même, ça peut porter à confusion, je trouve ça dommage...

[invitec314d025]

Pas vraiment. Pour une fonction d'une variable réelle tu dis les deux indifféremment, pourquoi pas pour les autres. Enfin bon, c'est au choix, certains font la différence, d'autres non.

[invitefb392423]

Merci pour le lien Physique!
Par contre je me posais la question justement parcque dans un cours de physique j'ai trouvé ceci:
Pour la fonction g(r(t),t);
dg/dt=dg/dt+(dx/dt)dg/dx+(dy/dt)dg/dy+(dz/dt)dg/dz

ou alors dg/dt=dg/dt+v nabla g

(les trucs en gras sont des vecteurs et les "d" en italiques sonr des d "rond")

Disons que si les x, et z aparraisent pour une histoire de coordonnées cartesienne, je voudrait avoir l'explication des d rond et ceux pas ronds...

[invitefb392423]

Ok je laisse tomber...