corps finis

[christophe_de_Berlin]

Bonjour,

je suis en train de ma casser la tête sur le groupes finis, et il y a quelquechose d´essentiel que je ne comprend pas:

Il est souvent question de corps appelés Fp où p est un nombre premier, il s´agit alors du corps fini Z/pZ. Quand p est premier, Fp = Z/pZ est un corps. Et jusqu´à maintenant j´ai cru que Fp = Z/pZ par définition, et que donc Fp n´est un corps que quand p est premier.

Mais ce qui me pose problème, c´est que des fois il est question par exemple de F4 ou F8.
Je me suis dit que F4 ou F8 ne sont pas des corps puisque 4 et 8 ne sont pas premiers, mais dans mes documents, ils en parlent comme des corps. Et puis je viens de lire que dans ce cas Fn n´est pas égal à Z/nZ. Mais alors, il est égal à quoi?

merci d´avance pour votre aide, j´espère que je me suis exprimé assez clairement.

christophe
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[Quinto]

Salut,
en fait il existe un unique corps à p^n élément pour tout p premier et n>0.
Un corps à n élément est noté Fn, et dans le cas où n est premier, c'est exactement Z/nZ.
Donc F4 n'est pas égal à Z/4Z

Je crois, mais je ne veux pas dire de bétise, que Fp^n est le corps de rupture de X^(p^n)-1 sur R.

[indian58]

Ce corps à pⁿ éléments existe et est unique à isomorphisme de corps près. Pour le construire, on considère un polynôme P de degré n irréductible sur [X]. Alors le corps obtenu en quotientant [X] par P convient. Il y a un très joli sujet d'ENSlyon (posé dans les années fin 80 début 90' je crois) qui démontre tous ces résultats.

[invite8b04eba7]

Salut !

Je crois, mais je ne veux pas dire de bétise, que Fp^n est le corps de rupture de X^(p^n)-X sur R.

C'est vrai, mais c'est plutôt le corps de décomposition (dans le cas des corps finis, les deux notions coincident).

Pour le construire, on se place donc dans une clôture algébrique de F_p, et on considère tous les éléments x de ce corps qui vérifient x^pn = x. Il y en a au plus pⁿ, et on peut montrer qu'en fait il y en a exactement pⁿ. Le corps obtenu est de caractéristique p et est noté F_p.

Pour F₄ par exemple : c'est Z/2Z[X]/(X⁴-X), donc on ajoute à Z/2Z deux racines troisième de l'unité, w et w². La loi de multiplication est évidente (le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique) et pour la loi additive on a par exemple : 1+w = w².

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

Merci pour vos précisions, j´ai aussi lu que pour tout p premier et tout n >0 il y a un unique polynôme de degré n dans Fp.

J´ai lu ce théorème mais par contre je ne trouve nul part comment on trouve ce polynôme. Pour F4 c´est facile, mais dans le cas général? Y a un truc à connaitre?

merci

[invite8b04eba7]

j´ai aussi lu que pour tout p premier et tout n >0 il y a un unique polynôme de degré n dans Fp.

Déjà, tu veux sûrement dire "irréductible" et "unitaire", sinon il y a en a beaucoup plus (c'est-à-dire pⁿ⁺¹). Ensuite, ce que l'on sait, c'est qu'il en existe un, et je ne pense pas qu'il soit unique. Il y a une formule qui permet, pour tout degré d et pour tout corps fini F_q, de calculer le nombre de polynômes irréductibles unitaires :

où est la fonction de Möbius. Si tu veux plus de précisions, n'hésite pas à me demander.

J´ai lu ce théorème mais par contre je ne trouve nul part comment on trouve ce polynôme. Pour F4 c´est facile, mais dans le cas général? Y a un truc à connaitre?

Ce n'est pas évident. Il y a des test d'irréductibilité assez efficaces mais pas de méthode directe pour le trouver je crois. Regarde dans le cours d'algèbre de Demazure ; il doit sûrement en parler dans le chapitre sur les corps finis. D'ailleurs, c'est un très bon livre pour apprendre à manipuler ces corps.

[indian58]

Comme je l'ai évoqué plutôt, il y a un sujet d'ENSlyon (années 80-90) qui fait démontrer tous ces résultats.

[invite8b04eba7]

Comme je l'ai évoqué plutôt, il y a un sujet d'ENSlyon (années 80-90) qui fait démontrer tous ces résultats.

Effectivement, il est très complet et est disponible ici :

ftp://ftp.drimm.u-bordeaux1.fr/UPS/files/corriges-1989/pdf/m89lm1ea.pdf

Par contre il ne donne pas de méthode pour trouver les dits polynômes. Je crois me rappeler qu'il existe une méthode probabiliste pour trouver les facteurs irréductibles de X^pn -X, ça doit s'appeler Cantor-Zassenhaus. Combiné avec l'algorithme de Berlekamp, ça doit marcher correctement, et c'est sûrement expliqué dans le Demazure.