Bonjour,
Je voulais vérifier quelque chose: Est ce que lorsque l'on prend un corps fini ayant un cardinal premier, n'importe quel élément différent différent de l'élément neutre est générateur du corps? Et si vous aviez une petite justification pas trop dure (je n'ai pas de bases solides en algèbre...).
Eric
Salut,
Je pense que tu pourras commencer à répondre à ta question en répondant à la question que je te pose ici :
Est-ce qu'un générateur est un élément x tel que l'ensemble {x,2x,3x,...} contient tous les éléments ou est-ce un élément tel que l'ensemble {x, x^2, x^3, ...} contient tous les éléments ?
Sylvestre
Tout d'abord, il convient de bien définir "générateur du corps"Envoyé par Eric78
Générateur du corp en tant que quoi ?
En tant que groupe additif ? (c'est à dire que que tout nombre du corps est somme d'un certain nombre de fois de x, ou l'opposé d'une somme de "x")
En tant qu'anneau ? (c'est à dire que tout nombre du corps est égal à un polynôme en x à coefficients entiers)
En tant que corps ? (c'est à dire que tout nombre du corps est égal à une fraction rationnelle en x)
Un corps fini ayant un cardinal premier est isomorphe à un Z/pZ (avec p premier).
(on le montre en regardant la caractéristique du corps, qui doit être un nombre premier, on en déduit qu'un Z/pZ s'injecte dans notre corps fini. On en déduit que le corps total est un espace vectoriel sur Z/pZ et est donc de cardinal p^r avec r entier strictement positif)
Si j'ai utilisé des notions que tu n'as pas vu, n'hésite pas à demander.
Je détail un peu plus parce que je suis perdu...
En fait, j'ai un ADS à préparer (je suis en MPSI), et j'ai un sujet sur la correction d'erreurs pour le minitel, on a pas du tout étudié les corps/groupes finis, juste les EV. En introduction, le sujet dit que le plus petit sous groupe engendré par a est (a)={e,a,a^2,...,a^(p-1)} avec p le plus petit entier tq a^p=e. On admet que p|cardG. Il est dit que si (a)=G, alors G est cyclique. Et on me demande de montrer qu'un goupe de cardinal premier est cyclique et on me demande ses générateurs. Voila...
Moi j'ai dit: soit a de G différent de e; (a)={e,a,...,a^(p-1)} avec p|cardG, donc p=cardG (p différent de 1 sinon a=e), donc (a)=G.
Autre chose, y a t-il un moyen rapide de montrer que l'ensemble des polynomes congrus à un polynome irreductible avec des coeff dans Z/2Z est un corps?
Et une dernière chose: J'ai un corps qui possède 2^7 éléments, et c'est à lui que j'aimerais appliquer la propriété à démontrer. Le problème, c'est qu'il n'a pas un nombre premier d'élément... Je voulais savoir si je pouvais retirer l'élément neutre de l'addition, et le considérer comme un groupe multiplicatif, avec 2^7-1=127 éléments, et 127 est premier.
Eric, je nage...
C'est ça, c'est une démonstration tout à fait correcte.
Que veux-tu dire exactement ? L'ensemble des polynômes congrus à un polynôme irréductible ne contient pas 0.
Tu ne voudrais pas plutôt parler du quotient de l'ensemble des polynômes de Z/2Z par la relation d'équivalence "congruence modulo P" avec P polynôme irréductible (qui lui est un corps) ?
Si tel est le cas, on montre facilement toutes les propriété des anneaux, pour l'inverse multiplicatif, on fait appel à Bezout.
Oui, tu peux, les axiomes de corps impliquent que pour tout corps K, K privé de 0 (de son élément neutre pour l'adition) est un groupe multiplicatif.
Sinon (mais ce n'est pas sûr que cela puisse t'être utile), il n'existe qu'un seul corps à 2^7 éléments (à isomorphisme près).
"Que veux-tu dire exactement ? L'ensemble des polynômes congrus à un polynôme irréductible ne contient pas 0.
Tu ne voudrais pas plutôt parler du quotient de l'ensemble des polynômes de Z/2Z par la relation d'équivalence "congruence modulo P" avec P polynôme irréductible (qui lui est un corps) ?"
Heu, j'en sais trop rien, vu que j'ai pas fait de "quotient par une relation d'équivalence"Mais ca doit être ca puisque le bordel est un corps (c'est dit dans le texte).
Sinon merci pour tes réponses, je commence à y voir plus clair...
En fait tu peux même dire mieux, je ne sais pas si cela t'es utile : un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps (commutatif hein) est cyclique. En particulier le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique (cependant il est souvent difficile d'en trouver un générateur).
Le quotient par une relation d'équivalence :"Que veux-tu dire exactement ? L'ensemble des polynômes congrus à un polynôme irréductible ne contient pas 0.
Tu ne voudrais pas plutôt parler du quotient de l'ensemble des polynômes de Z/2Z par la relation d'équivalence "congruence modulo P" avec P polynôme irréductible (qui lui est un corps) ?"
Heu, j'en sais trop rien, vu que j'ai pas fait de "quotient par une relation d'équivalence"
On a un ensemble X et une relation d'équivalence R.
Le quotient de X par R est l'ensemble des classes d'équivalences dans X pour la relation R.
Lorsqu'on a un anneau commutatif unitaire (A,+,*0,1), et un idéal I.
On peut définir la relation d'équivalence R par :
x R y ssi x-y appartient à I
Avecune telle relation d'équivalence, il est possible de définir sur l'ensemble quotient A/R les lois quotient + et *.
Notation : on note cl(x) la classe de x pour x appartenant à A.
Les lois quotient sont définie de la façon suivante :
cl(x)+cl(y)=cl(x+y)
cl(x)*cl(y)=cl(x*y)
On vérifie que ces lois sont bien définies (autrement dit que si cl(x)=cl(x') et cl(y)=cl(y') alors cl(x+y)=cl(x'+y') et cl(x*y)=cl(x'*y') ).
On remarque que l'on obtient ainsi un anneau que l'on note A/I.
Si A était un anneau de polynômes sur un corps K et que I était un idéal engendré par un polynôme P (c'est à dire I = P*A) alors A/I est un corps.
Ce n'est pas automatique: il y a des conditions sur P pour que A/(P) soit un corps.
Oui il doit être irréductible.
Il faut qu'il irréductible.
C'était sous entendu
