Polynômes irréductibles sur les corps finis

[GuYem]

Bonjour.

Il est connu que pour tout p premier et n quelconque il y a des polynômes irréductibles sur F_p de degré n.

La question est la suivante : peut-on en donner un qui le sera à coup sur ?
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[GuYem]

Alors personne pour me répondre "non" ?

Ou au moins pour parler des polynômes irréductibles sur F_p, ça peut pas faire de mal.

[invite6b1e2c2e]

Si je ne m'abuse, quand tu regardes le polynôme P_n(X)=X^(p^n)-X, il est le produit de tous les polynômes irréductibles de F_p[X], de degré inférieurs à n, chaque polynôme irréductible apparaissant une fois dans la décomposition en facteur irréductible. Alors, si tu regardes Q_n(X) = P_n/P_{n-1}, tu obtiens le produit de tous les polynômes irréductibles de degré exactement n. Ensuite tu peux donc en déterminer le nombre exact en regardant le degré de Q_n, mais si tu en veux un en particulier, je pense qu'il faut essayer de le factoriser (Méthode sans subtilité : Si deg(Q_n) = 3n, chercher 3 polynômes de degré n tels que leur produit fasse Q_n ? Y a -t-il mieux ?).

Bon, maintenant si tu veux une preuve de ce que j'avance. Prends un polyn&#244;me R irr&#233;ductible de degr&#233; a<n. Alors R a une racine dans une extension galoisienne de F_p, qui sera un corps fini, toujours de caract&#233;ristique p, et dont le degr&#233; de l'extension sera p^a. Notamment, tous les &#233;l&#233;ments de ce corps, y compris cette racine, annuleront donc le polyn&#244;me P_a.
De plus, la racine en question ne peut pas annuler P_{a-1}, sinon le polyn&#244;me irr&#233;ductible ne pourrait pas &#234;tre de degr&#233; a.
Pour la r&#233;ciproque, il suffit de remarquer que tous les &#233;l&#233;ments du corps &#224; p^n &#233;l&#233;ments sont racines du polyn&#244;me P_n, et donc leurs polyn&#244;mes irr&#233;ductibles divisent P_n.
Enfin, pour dire que chaque polyn&#244;me irr&#233;ductible appara&#238;t au plus une fois dans la d&#233;composition, il suffit de remarquer que P_n est &#224; racines simples.

PS : J'ai un peu trich&#233;, puisque j'ai utilis&#233; sans le dire qu'il y avait unicit&#233; des corps finis &#224; p^n &#233;l&#233;ments (au sens o&#249;, si il y en a deux, je peux trouver un isomorphisme de corps qui va de l'un dans l'autre.) Si tu veux une preuve r&#233;dig&#233;e en d&#233;tail, va voir le livre d'Ireland et Rosen, intitul&#233; Number Theory je crois.

[GuYem]

Merci de des pr&#233;cisions rvz. Les choses que tu indiques permettent en effet de compter le nombre de polyn&#244;mes en question ; c'est tr&#232;s joli d'ailleurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Je voulais r&#233;pondre &#224; ce sujet, avec un peu de retard, mais je viens de voir que RVZ donne la r&#233;ponse que je souhaitais apporter.
N&#233;anmoins, je tiens &#224; ajouter que dans le Dummit, ils fabriquent justement r&#233;cursivement ce genre de polyn&#244;mes, qui va marcher &#224; coup sur. (Section 14.3)
Probl&#232;me r&#233;solu.

[invite6b1e2c2e]

Je me suis un peu trompé d'ailleurs. Dans mon polynôme P_n n'apparaissent en fait que les polynômes irréductibles de degré d, avec d divise n.
Du coup, si tu veux calculer le nombre de polynômes irréductibles de degré n sur F_p, tu es obligé d'utiliser une formule d'inversion de Moebius. Cf Ireland et Rosen toujours, chapitre 7.

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rvz, pour compléter