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polynômes irréductibles



  1. #1
    xyzxyz2

    polynômes irréductibles


    ------

    Salut,

    si un polynôme a une racine, est-ce qu'il est forcément irréductible? même s'il est de degré 1?

    Merci pour votre réponse.

    -----

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  3. #2
    xyzxyz2

    Re : polynômes irréductibles

    Non je voulais dire non irréductible soit réductible bien sûr.

  4. #3
    martini_bird

    Re : polynômes irréductibles

    Salut et bienvenue,

    un polynôme de degré 1 ne risque pas d'être "réductible", par définition.

    Sinon un polynôme (dans R ou C) de degré >1 qui admet une racine (resp. dans R ou C) n'est pas irréductible.

    [EDIT : ceci est faux] Ce résultat est faux en général pour les corps finis, si je me souviens bien d'une lointaine discussion avec Guyem... [/EDIT]

    Cordialement.

    EDIT : en fait non, c'est le contraire : un polynôme sur un corps fini qui n'admet pas de racine peut ne pas être irréductible.
    Dernière modification par martini_bird ; 24/03/2006 à 18h46.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. #4
    xyzxyz2

    Re : polynômes irréductibles

    La définition d'un polynôme irréductible dit qu'il est de degré supérieur ou égal à 1 ou strictement supérieur à 1?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : polynômes irréductibles

    Un polynôme P est irréductible si la factorisation P=AB implique que A ou B est un scalaire.

    Un polynôme de degré 1 est donc irréductible.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #6
    µµtt

    Re : polynômes irréductibles

    Salut,


    c'est un poil plus complexe car il ne faut pas oublier de préciser on se place !

    ainsi 3X-3 par exemple est réductible sur Z et irréductible sur Q. On peut être de d°1, avoir une racine et être réductible ou non

    Sinon même dans des corps finis, avoir une racine (sous entendu dans ce corps) est très mauvais pour son irréductibilité
    Dernière modification par µµtt ; 24/03/2006 à 19h03.

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  10. #7
    martini_bird

    Re : polynômes irréductibles

    Citation Envoyé par µµtt
    c'est un poil plus complexe car il ne faut pas oublier de préciser on se place !
    Tout à fait d'accord avec ça. Mais :

    ainsi 3X-3 par exemple est réductible sur Z et irréductible sur Q. On peut être de d°1, avoir une racine et être réductible ou non
    Si je reprends cette définition 3X-3 est irréductible, non ?
    Sinon même sur dans des corps finis, avoir une racine (sous entendu dans ce corps) est très mauvais pour son irréductibilité
    Oui, je me suis emmêlé les pinceaux (d'où l'édition).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    µµtt

    Re : polynômes irréductibles

    Citation Envoyé par martini_bird
    Si je reprends cette définition 3X-3 est irréductible, non ?
    La définition se place dans un "field" = corps, elle est donc restrictive.

    Une bonne (= complète) définition :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me

    Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.

    3X-3 = 3(X-1) et 3 n'est pas inversible dans Z.

    Je maintiens ce que j'ai dit : 3X-3 est réductible dans Z.
    Dernière modification par µµtt ; 24/03/2006 à 19h13.

  12. #9
    martini_bird

    Re : polynômes irréductibles

    Oki, merci µµtt !
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #10
    µµtt

    Re : polynômes irréductibles



    Dans des anneaux non intègres c'est encore plus bizarre :

    1 = (1-2X)(1+2X) dans Z/4Z[X]

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