polynômes irréductibles

[invitef624208d]

Salut,

si un polynôme a une racine, est-ce qu'il est forcément irréductible? même s'il est de degré 1?

Merci pour votre réponse.
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[invitef624208d]

Non je voulais dire non irréductible soit réductible bien sûr.

[martini_bird]

Salut et bienvenue,

un polynôme de degré 1 ne risque pas d'être "réductible", par définition.

Sinon un polynôme (dans R ou C) de degré >1 qui admet une racine (resp. dans R ou C) n'est pas irréductible.

[EDIT : ceci est faux] Ce résultat est faux en général pour les corps finis, si je me souviens bien d'une lointaine discussion avec Guyem... [/EDIT]

Cordialement.

EDIT : en fait non, c'est le contraire : un polynôme sur un corps fini qui n'admet pas de racine peut ne pas être irréductible.

[invitef624208d]

La définition d'un polynôme irréductible dit qu'il est de degré supérieur ou égal à 1 ou strictement supérieur à 1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Un polynôme P est irréductible si la factorisation P=AB implique que A ou B est un scalaire.

Un polynôme de degré 1 est donc irréductible.

Cordialement.

[inviteca3a9be7]

Salut,


c'est un poil plus complexe car il ne faut pas oublier de préciser où on se place !

ainsi 3X-3 par exemple est réductible sur Z et irréductible sur Q. On peut être de d°1, avoir une racine et être réductible ou non

Sinon même dans des corps finis, avoir une racine (sous entendu dans ce corps) est très mauvais pour son irréductibilité

[martini_bird]

c'est un poil plus complexe car il ne faut pas oublier de préciser où on se place !

Tout à fait d'accord avec ça. Mais :

ainsi 3X-3 par exemple est réductible sur Z et irréductible sur Q. On peut être de d°1, avoir une racine et être réductible ou non

Si je reprends cette définition 3X-3 est irréductible, non ?

Sinon même sur dans des corps finis, avoir une racine (sous entendu dans ce corps) est très mauvais pour son irréductibilité

Oui, je me suis emmêlé les pinceaux (d'où l'édition).

Cordialement.

[inviteca3a9be7]

Si je reprends cette définition 3X-3 est irréductible, non ?

La définition se place dans un "field" = corps, elle est donc restrictive.

Une bonne (= complète) définition :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me

Polynôme irréductible : Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.

3X-3 = 3(X-1) et 3 n'est pas inversible dans Z.

Je maintiens ce que j'ai dit : 3X-3 est réductible dans Z.

[martini_bird]

Oki, merci µµtt !

[inviteca3a9be7]

Dans des anneaux non intègres c'est encore plus bizarre :

1 = (1-2X)(1+2X) dans Z/4Z[X]