Un peu de fondamentale
Bonjour a tous.
L'intitulé en dit pas mal. J'aurais juste une simple question :
comment sait-on que le produit de - par + fais - et + par + fais + ?
Est-ce un postulat, un axiome de depart vis-a-vis de notre systeme mathematique, ou est-ce vraiment demontrable ?
Merci d'avance ^^ .
Ce n'est pas un postulat en soi, cela provient de la manière dont on a construit les ensembles de nombres (pour faire ceci, il faut se baser sur des axiomes, mais ils ne concernent pas directement ce genre de problème).
Le problème que tu évoques concerne la structure d'anneau dont sont munis la plupart des ensembles de nombres que l'on utilise couramment.
J'hésite à rentrer dans les détails. Il faudrait d'abord évoquer les lois de composition interne, les groupes, puis les anneaux. Ca fait du boulot pour un seul post. Généralement on voit ça en Sup.
Je pourrais te faire la pseudo-démonstration suivante (dans Z pour faire simple) :
0 = x.0 = x.((-y)+y) (ça n'est déjà pas si évident que ça en a l'air si on veut repartir des bases, 0 étant défini comme l'élément neutre pour l'addition)
puis, par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition:
0 = x.(-y) + x.y
donc x.(-y) = -(x.y) (d'où + par moins égal -)
Enfin bon, tout ça pour dire que, à partir des axiomes de base, on peut commencer par construire des ensembles (entiers, rationnels, réels, etc), les munir d'opérations qui doivent vérifier certaines propriétés, et ensuite on démontre toutes les propriétés que l'on utilise sans se poser de question depuis le collège ou même avant.
On ne voit pas ce genre de choses au Lycée, et c'est un peu pour ça que tu peux entendre des gens dire qu'avant le bac on n'a jamais vraiment fait de mathématiques. C'est bien évidemment faux, mais c'est un peu l'impression que ça donne.
