[Groupes] Représentation fondamentale

[Gwyddon]

Bonsoir à tous,

Je suis en ce moment plongé dans l'étude de la théorie de la représentation des groupes, et une question lancinante n'a toujours pas trouvée réponse : qu'est ce que c'est que la représentation fondamentale d'un groupe ?

J'ai rencontré ce terme en TD de structure fonda sur l'étude de SU(2), où l'on disait que la représentation de spin 1/2 était la représentation fondamentale.
Ma petite tête cogite, et se dit qu'une représentation fondamentale pour un groupe matriciel est le groupe lui-même, mais est-ce vrai ? Est-ce généralisable ?

Merci d'avance

Julien
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[martini_bird]

Salut,

je ne connais pas ce que tu appelles représentation fondamentale... Est-ce la représentation régulière ?

Cordialement.

[Gwyddon]

Je vais jeter un oeil à mon TD et je te dis ça tout de suite

EDIT : voilà c'est fait.

Alors on part d'un doublet d'isospin de Dirac, et pour ce doublet on utilise directement les matrices de Pauli comme générateurs de la représentation de SU(2). Donc j'ai l'impression que tu as raison, c'est la représentation régulière.

[Rincevent]

Donc j'ai l'impression que tu as raison, c'est la représentation régulière.

non, c'est pas pareil : la représentation fondamentale est irréductible... pour la définir rigoureusement faut aller dans des définitions que j'ai ni le temps ni le courage de mentionner ici (surtout dans un forum de math où faut au moins tenter d'être rigoureux ) (ce sont des histoires de "poids", cf wikipédia)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ah ok, bon au temps pour moi alors... Donc c'est juste un hasard si la représentation fondamentale de SU(2) est le groupe lui-même ?

Bon je vais plancher sur les poids (physiquement je "sens" un peu la chose, surtout lors de l'étude des moments cinétiques, reste à mettre ça en forme )

[invite9f74ae56]

Bonjour,
votre discussion m intéresse bien mais je n'y connais quasiment rien en représentations, et j ai cherché sur internet un cours bien fait pour un débutant avec des exemples; et les liens google ne sont pas top je trouve, vous auriez des bonnes adresses a me conseiller? ou des bouquins?
merci d'avance, bonne soirée

[Gwyddon]

Toi y en avoir regardé la biblio de physique ?

Je bosse sur celui-ci, il est très bien : http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092968 (Zuber)


Vu sa réputation, celui-ci doit être pas mal : http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092924 (Delamotte)

Là aussi, c'est Franck Laloë donc ça ne doit pas être si mauvais que ça : http://cel.ccsd.cnrs.fr/cel-00092953

Amuse-toi bien

[Gwyddon]

Sinon je suis partant pour qu'un matheux m'explique vite fait ce qu'est rigoureusement la représentation fondamentale

[invite35452583]

Sinon je suis partant pour qu'un matheux m'explique vite fait ce qu'est rigoureusement la représentation fondamentale

Bonjour,
ici, il ya quelques explications (20 pages essentiellement de résultats et de présentations de ceux-ci)
Un petit résumé sur la question posée (en espérant ne pas faire trop d'erreurs en synthétisant trop )
Toutes les représentations irréductibles se déduisent d'un poids (cf.p.10 pour une définition) (le plus grand d'entre eux) en retirant des racines (qui sont les poids "fondamentaux" du groupe et de son algèbre associée)
Parmi les représentations possibles (cf ex p.15 pour SU(3))) certaines (A,C) sont plus "petites" que les racines elles-mêmes (B) d'autres plus "grandes" (D).
Une seule représentation contient comme poids exactement les racines c'est la représentation fondamentale (le plus haut poids est celui de la plus grande racine des deux possibles ou de l'unique pour SU(n) modulo le groupe de Weil ; cf. wiki).
Dans le 20 pages il manque les schémas des représentations de SU(2) (même si ils sont très simples ce n'est pas forcément inutile de les mettre), je les décrit en termes de schéma (c'est plus facile à écrire)
la plus petite : un point en 0 (je te laisse deviner laquelle est-ce )
une deuxième : un point en 1/2, un point en -1/2. C'est une représentation spinorielle.
une troisième : un point en 1, un en -1 un en 0. C'est la fondamentale. un seul point en 0 car de rang 1 (0 est double pour la représentation fondamentale de SU(3) car de rang 2).
une quatrième : -3/2,-1/2,1/2,3/2
.....
Voilà pour une tentative d'explication un peu exhaustive, sinon la représentation fondamentale d'un groupe est plus simplement celle qui définit le groupe (définition trouvée à la p.4 du 20 p. d'une rigueur inoubliable ). Définir le groupe a une définition rigoureuse (cf. ce qui précède) mais également très intuitif : SU(2) est défini par SU(2) ( ) càd par son opération classique sur C² par exemple. Il en est de même pour SU(n), SO(n)...

En conclusion : la représentation fondamentale n'est pas tout à fait le groupe lui-même mais l'image du groupe dans cette représentation lui est isomorphe.

Néanmoins, dans ce qui précède, il faut faire attention à ceci tout ne se "voit" pas dans les racines et les poids. Par exemple l'application SU(2)->SO(3)->représentation fondamentale de SO(3) ne se distingue pas au niveau des racines de la représentation fondamentale de SU(2) mais l'image n'est pas isomorphe à SU(2). (Mais presque : le noyau est un sous-groupe discret, nécessairement si au niveau des poids il y a coïncidence, de SU(2) et qui correspond au groupe fondamental de SO(3)).

[Gwyddon]

Ouais cool, donc je disais un truc pas con mais pas rigoureux alors

Merci pour ces éclaircissements homotopie (et merci Rincevent pour m'avoir mis sur la piste des poids)

[inviteafe0981a]

Salut les amis
Mieux vaut tard que jamais. Votre discussion, quoique ancienne, nécessite quand même une réponse:
Une représentation fondamentale est une représentation à partir de laquelle on peut construire par multiplication toutes les autres. Par exemple, dans SU(3), la représentation d'ordre 3 est la représentation fondamentale, Il en est de même dans SU(2), la représentation d'ordre 2 est la représentation fondamentale, . la représentation d'ordre 3 est bien la description mathématique de certaines particules élémentaires au fin fond de l'atome comme les quarks, porteurs de charge de couleur.