Groupes : union de sous-groupes.

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 08h41

Bonjour à toutes et à tous.

Démontrer que l'union de deux sous-groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'un même groupe $\text{[math]}$ est un sous-groupe ( $\text{[math]}$ ) si, et seulement si, $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Voici ce que j'ai fait.
$\text{[math]}$
Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$
Supposons que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Démontrons que $\text{[math]}$ .
Par hypothèse,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Il me suffirait de deux éléments de $\text{[math]}$ tels que leur produit ne soit pas dans $\text{[math]}$ .
J'essaie avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ sinon, $\text{[math]}$ serait dans $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ sinon, $\text{[math]}$ serait dans $\text{[math]}$

Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre avis.

invite8b04eba7 · 27/04/2006, 09h02

Salut !

Ça m'a l'air tout bon !

Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.

invitef4181796 · 27/04/2006, 09h03

C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 09h15

Merci de vos réactions.

C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).

C'est ce que j'ai écrit, non ? C'est sans doute à cause des symboles : $\text{[math]}$ signifie $\text{[math]}$ n'est pas un sous-groupe de $\text{[math]}$ .
Je n'ai pas écrit $\text{[math]}$

.
C'est ma faute de vouloir utiliser le symbole $\text{[math]}$ pour dire "sous-groupe".

Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.

Avec la notation " $\text{[math]}$ " pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère $\text{[math]}$
alors :

$\text{[math]}$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 09h24

Envoyé par Esth3r

Bonjour à toutes et à tous.

Démontrer que l'union de deux sous-groupes $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ d'un même groupe $\text{[math]}$ est un sous-groupe ( $\text{[math]}$ ) si, et seulement si, $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Bonjour,

Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints). Attention, ça ne marche que pour deux sous-groupes (exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).
Je l'sais, j'm'ai mordu la queue en généralisant abusivement...

-- françois

EDIT: "distincts" n'implique pas "disjoints", ne serait-ce que parce que l'élément neutre est au moins commun... c'est les séquelles de l'anesthésie, j'ai encore de la morph' dans les oeils.

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 09h27

Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints).

Tous les sous-groupes d'un même groupe n'ont pas l'élément neutre en commun ?

Edit : croisement des réponses.

invite8b04eba7 · 27/04/2006, 09h28

Envoyé par Esth3r

Avec la notation " $\text{[math]}$ " pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère $\text{[math]}$
alors :

$\text{[math]}$

Voilà, c'est exactement ça.

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 09h36

exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).

Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

)

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 09h38

Envoyé par Esth3r

Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .

)

Ah c'est malin... Il me semble que j'ai précisé que j'ai encore de la morph' plein les oeils!

-- françois

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 09h50

Bon, si on prend un groupe $\text{[math]}$ à trois éléments (où $\text{[math]}$ est le neutre).
On sait que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des sous-groupes de $\text{[math]}$ . Leur réunion est bien $\text{[math]}$ . non ?

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 10h09

Envoyé par Esth3r

Bon, si on prend un groupe $\text{[math]}$ à trois éléments (où $\text{[math]}$ est le neutre).
On sait que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont des sous-groupes de $\text{[math]}$ . Leur réunion est bien $\text{[math]}$ . non ?

Oui. C'est l'exemple classique.

-- françois

invite8b04eba7 · 27/04/2006, 10h13

Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 10h20

Envoyé par doudache

Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?

Je crois que pour toute famille (x₁,...,x_n) le groupe F₂⁽ⁿ⁾ répond à la question, avec évidemment les relateurs x_i²=1. Je dis ça de tête, mais l'idée est correcte.

-- françois

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 10h36

Pour l'autre exercice avec les sev.
Pour la suite, je note $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$
Supposons que
$\text{[math]}$ .
Démontrons que $\text{[math]}$ .
Par hypothèse, on sait que
$\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Je vais tenter le coup cette fois-ci avec
$\text{[math]}$ et montrer que cet élément n'est pas dans $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ sinon $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$
Même raisonnement avec les autres sev.

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 10h45

Oups, je vais recommencer, j'ai écrit n'importe quoi.

invite8b04eba7 · 27/04/2006, 11h29

Envoyé par fderwelt

le groupe F₂⁽ⁿ⁾ [...] avec les relateurs x_i²=1.

Par là tu entends le groupe libre à n éléments quotienté par les relations x_i²=1 ? Si c'est ça, je ne vois pas trop comment écrire ce groupe comme union de n groupes.

invitef4181796 · 27/04/2006, 11h38

=======non, rien========

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 12h12

Envoyé par fderwelt

Oui. C'est l'exemple classique.

Oulà. J'ai dit n'importe quoi. Esth3r a dit "éléments" et j'ai pensé "générateurs"... La morph', oki, mais ça n'excuse pas tout. Que l'on soit bien clair: le seul et unique groupe à 3 éléments est {1,x,x²}, on s'en convainc facilement en énumérant les tables de multiplication possibles (il n'y en a pas 36000). Et il n'est manifestement pas réunion de 3 sous-groupes propres distincts.

Envoyé par fderwelt

Je crois que pour toute famille (x1,...,xn) le groupe F2(n) répond à la question, avec évidemment les relateurs xi²=1. Je dis ça de tête, mais l'idée est correcte.

Alors là aussi c'est n'importe quoi. Bien que moins débile, mais n'importe quoi quand même. Le maître (Bourbaque) donne ça en exo dans Algèbre Commutative: pour tout ensemble I à au moins deux éléments, le groupe F₂^(I) à n = |I| générateurs (avec les relations x_i²=1) est réunion de trois sous-groupes propres distincts. Et pas plus. Je ne suis pas en état de détailler, mais l'idée est que si on a par exemple trois générateurs x,y,z il faut bien remplir les cases xy, yz et zx dans la table de multiplication, et comme chaque ligne/colonne doit être une permutation du groupe, on n'a pas trop de choix. Ça fait un peu Sudoku comme raisonnement, mais c'est exactement ça.

Je préfère m'abstenir d'en rajouter, je suis un peu trop dans la choucroute.

-- françois

invitee0cfa2c5 · 27/04/2006, 12h23

Je n'avais pas écrit que je donnais des sous-groupes distincts et propres

.
J'avais juste écrit que

$\text{[math]}$

Puisque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite6de5f0ac · 27/04/2006, 12h26

Envoyé par doudache

Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?

Bonne question (et voir le dernier post par Esth3r). C'est le "et pas moins" qui pose problème...

-- françois

**invite35452583** · 27/04/2006, 13h25

Bonjour,
ma petite contribution :
$\text{[math]}$ le groupe des isométries laissant globalement invariant un carré est l'union d'un $\text{[math]}$ et de deux $\text{[math]}$ , soit trois groupes propres distincts.
$\text{[math]}$ ={1;-1;i;-i;j;-j;k;-k} avec comme loi interne la multiplication des quaternions est l'union de 3 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est l'union de deux $\text{[math]}$ et d'un $\text{[math]}$
Encore plus simple $\text{[math]}$ est union triviale de 3 sous groupes propres distincts.
De manière générale, tout 2-groupe non abélien :
le quotient G/D par le groupe dérivé ne peut être cyclique sinon D(G)=[G,D] (il suffit de l'écrire) qui est strictement inclus dans D (ça se démontre à peu de chose près de la même manière que le centre d'un p-groupe est non trivial). Ceci contredit D(G)=D.
Maintenant, un 2-groupe non cyclique abélien admet toujours un quotient isomorphe à un $\text{[math]}$ .
Par récurrence,
si tous les éléments sont d'ordre 2 alors c'est un $\text{[math]}$ qui admet trivialement un quotient iso à $\text{[math]}$ .
S'il existe un élément non neutre d'ordre distinct de 2, alors on quotiente par sa puissance qui est d'ordre 2 (carré si sa puissance est d'ordre 4, sa puissance 4 s'il est d'ordre 8...). Le quotient n'est pas cyclique, si on a $\text{[math]}$ avec A non cyclique alors A= $\text{[math]}$ mais alors le quotientage s'est fait par le sous-groue engendré par un élément d'ordre 2 qui n'est pas une puissance d'un autre élément de A. Le quotient de A est non cyclique et d'ordre inférieur à celui de A, on peut donc trouver par H.R. un quotient iso à $\text{[math]}$ .
Maintenant, G/H={e,a,b,ab} et G est l'union de <H,a>, <H,b> et <H,c>.

Pour n=p+1 (p premier) les $\text{[math]}$ sont union de n groupes propres et distincts, n étant un minimal pour cette propriété (il y a suffisamment peu de sous-groupes pour que la vérification soit aisée).

Cas général...????

Cordialement

**invite35452583** · 27/04/2006, 21h53

Bonjour,
petit complément et question-défi.
Le problème est d'exhiber des groupes tels qu'ils soient union de n groupes propres distincts, n étant minimal pour cette propriété.
On sait que pour n=2, c'est impossible.
Les groupes cycliques ne conviennent en aucun cas, ils ne sont pas unions de sous-groupes distincts (un seul groupe contient les éléments de plus grand ordre).
Pour n=3, les 2-groupes finis non cycliques conviennent tous (même non abéliens) (vu au post précédent).
Pour n=4, $\text{[math]}$ et a priori tous les 3-groupes non cycliques conviennent.
Pour n=5, le groupe alterné sur 4 éléments convient (1 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ , chacun est un sous-groupe maximal)
Pour n=6 $\text{[math]}$ et a priori tous les 5-groupes non cycliques conviennent.
Pour n=8 $\text{[math]}$ et a priori tous les 7-groupes non cycliques conviennent.
Pour n=9, le produit semi-direct de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ convient (tous les isomorphismes sont conjugués, ce sont les 7-Sylow de $\text{[math]}$ , on peut en fabriquer d'autres sur le même tonneau.
Pour n=10, le groupe alterné de 5 éléments convient. Il faut contenir les 6 5-Sylow, donc 6 parmi les 5-Sylow et leurs normalisateurs, on peut prendre par économie es 6 normalisateurs. Avec ça on a tous les élémenst d'ordre 5 et d'ordre 2. Les sous-groupes contenant les éléments d'ordre 3 sont les 10 3-Sylow, leurs normalisateurs, et les normalisateurs des 2-Sylow qui en contiennent chacun 4. Ces derniers sont les plus économiques mais 2 à 2 ils ont un 3-Sylow en commun, 3 à 3 ils en ont 3 qui appartiennet à deux d'entre eux, il en faut donc au moins 4 et c'est possible avec 4.
6+4=10.

Mais, n=7...????

invite6b1e2c2e · 28/04/2006, 09h41

Envoyé par homotopie

Mais, n=7...????

Salut,

Pour n=7, je ne sais pas, mais en tout cas

pour tes explications !

__
rvz

invitef4181796 · 28/04/2006, 12h25

Moi, j'ai déja copié et archivé les deux posts d'homotopie.
Merci, et bravo pour ces informations précises et bien expliquées !!

Groupes : union de sous-groupes.

Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

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Re : Groupes : union de sous-groupes.

Re : Groupes : union de sous-groupes.

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Re : Groupes : union de sous-groupes.

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Re : Groupes : union de sous-groupes.

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