Bonjour je cherche un contre exemple qui vérifierait
H sg de K sg de G
H distingué dans K
K distingué dans G
Mais H non distingué dans G
J'ai cherché dans les eroupes non commutatifs que je connais ( groupe symétrique , GLn(K)) mais je ne vois pas de contre exemple ( même simple)...
Pouvais vous m'aider sil vouv plait ???
Bonjour,
le plus petit exemple de tous
G=le groupe alterné de 4 éléments A4.
G contient le sous-groupe distingué H=<id,(ab)(cd),(ac)(bd),(ad)(b c)>.
H contient le sous-groupe distingué K=<id,(ab)(cd)>.
Mais (abc)K(=<id,(ad)(bc)> distinct de K.
Re,
une autre manière de voir ce problème est celui-ci.
On part non de G mais de H et on y regarde ses sous groupes distingués. Parmi ces qsous-groupes distingués, certains sont particuliers : ils sont invariants par automorphisme de H, ils sont appelés caractéristiques. Exemples :
Dans C4=Z/4Z, il n' y a qu'un seul sous groupe d'ordre 2, un automorphisme ne pourra pas faire autrement que l'envoyer sur lui- même.
Dans Sn, il n' y a qu'un sous-groupe d'indice 2 (son ordrex2=ordre du groupe) An, idem un automorphisme de Sn ne peut qe l'envoyer sur lui-même.
Dans le groupe dihédral D8 (groupe des symétries d'un carré entre autres), il y a un seul sous-groupe isomorphe à C4=>caractéristique, le centre est un sous-groupe d'ordre 2, il est le centre=>caractéristique (il est également caractérisé par le fait que c'est le sous-groupe dérivé, c'est le sous-groupe des carrés de H,...)
Tous les autres sous-groupes distingués K dans H sont des candidats (et lauréats) pour être un groupe H cherché. En effet, on a alors dans le groupe G=H>xAut(H) (le symbole >x désigne ici le produit semi-direct, pas terrible mon imitation du symbole classique) K distingué dans H mais pas dans G (H est distingué dans G par construction).
Si tu ne connais pas le produit semi-direct, donnons des exemples :
reprenons D8, il y a deux autres sous-groupes distingués qui sont des V4 (ou C2xC2). Ces deux V4 sont conjugués dans D16. En effet, ces deux V4 correspondent d'une part aux sous-groupes engendrés par les symétries axiales ; un celles par rapport aux diagonales un par rapport aux médianes. Dans D8 ils ne sont donc pas conjugués mais dans D16 (groupe de symétries d'un octogone) ils ont alors la même nature géométrique.
Q8 est le groupe des 8 quaternions {1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} avec 1 neutre, -1 central avec (-1)²=1
(-1)i=-i,..., (-1)k=-k
i²=j²=k²=-1
ij=k, jk=i, ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
Il y a 3 sous-groupes iso à C4 qui sont distingués.
On retrouve ce groupe (il y est distingué) dans SL(2;F3) et dans GL(2;F3) mais cette fois les 3 C4 sont conjugués.
