Hello
Voilà je viens de lire quelques trucs (wikipedia surtout) sur les sous-groupes distingués (comme introduction aux groupes-quotients) et j'ai du mal à me représenter ce que c'est... J'ai bien compris que tout sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué, et du coup j'ai beaucoup de mal a trouver des exemples ou contre-exemples "intéressants". bref, avez-vous des exemples pas trop compliqués pour que je puisse me représenter ce que c'est ?
Merci
Bonjour,
tu peux par exemple considérer le groupe des matrices de taille n et de déterminant 1 (groupe spécial linéaire), c'est un sous groupe distingué du groupe des matrices inversibles.
Dans le groupe des permutations d'ordre n (Sn) le sous groupe alterné (An : signature : 1) est distingué.
De manière plus générale si f: G->G' est un morphisme de groupes alors Ker(f) est un sous groupe distingué dans G, on a mêmeest un sous groupe distingué dans G si H est distingué dans G'.
L'ensemble des matrices inversibles triangulaires supérieures d'ordre n est un sous groupe des matrices inversibles d'ordre n mais il n'est pas distingué dans ce groupe.
Un groupe qui n'admet pas de sous groupe distingué (autre que 1 et lui même) est appelé groupe simple, c'est le cas de An pour
Bonjour !
Voyons S(n-1) (groupe des permutations d'un ensemble de n-1 éléments) comme un sous-groupe de Sn en voyant une permutation de {1,...,n-1} comme une permutation de {1,...,n-1,n} qui fixe n (c'est à dire sigma(n)=n)
Si n>=3, alors ce n'est pas un sous groupe distingué.
En effet soit go la transposition qui échange n et n-1, on voit aisément à l'aide d'un schéma que go^(-1).S(n-1).go est différent de S(n-1)
(go^(-1) est l'application réciproque de go)
1er exemple : groupe des isométries d'un triangle équilatéral G
On a comme élément
i) l'identité (ordre 1)
ii) deux rotations d'angle +/- 2pi/3 (ordre 3)
iii) 3 symétries ayant pour axe une des médiatrices (qui sont aussi médaines, hauteurs, bissectrices) (ordre 2)
Sous-groupes (ici, c'est facile, ordre divise l'ordre du groupe soit 6, donc d'ordre 1, 2 ,3 ou 6).
ordre 1 : <id> trivialement distingué
ordre 3 : (donc engendré par un seul élément car un élément non neutre a un ordre divisant 3 mais non égal à 1) un seul groupe d'ordre 3, notons le C3. (Quelle imagination)
Deux manières ayant chacune son intérêt de voir que ce groupe est distingué
i) pour une raison numérique : xC3x-1 est un sous-grouope d'ordre 3 pour tout élément x de ce groupe, or C3 est le seul sous-groupe d'ordre 3.
ii) pour une raison géométrique : ce sont les isométries directes, or si y conserve l'orientation, on a xyx-1 conserve aussi l'orientation car soit x-1 change, y laisse, x change bilan du tout : on ne change pas l'orientation. soit x-1, y et x ne changent pas l'orientation et xyx-1 non plus. Les isométries directes étant envoyées par conjugaison interne x.x-1 sur elles-mêmes, l'ensemble des isométries directes est envoyé sur les isométries directes qui est un groupe distingué pour tous les groupes de ce type (groupe composée de transformation géométrqiue).
D'ailleurs tout sous-groupe d'indice 2 (c'est d'ordre la moitié du groupe entier) est toujours distingué.
iii) ordre 2 Pour la même raison que pour les sous-groupes d'ordre 3, ils sont engendré par un unique élément. Il y en a 3. Ils sont tous conjugués car leurs axes de symétrie sont envoyés les uns sur les autres par le groupe G. Ces groupes sont donc non distingués.
ordre 6 : G lui-même trivialement distingué
2ème exemple : groupe des isométries d'un carré ABCD G
Calculons son cardinal, une isométrie est entièrement déterminé par l'image A', B', D' de trois points A, B, D tels que A'B'D' soit isométrique à ABD (petit exercice géométrique pas très difficile).
Ici les contraintes sont A , B et D doivent être envoyés sur des sommets du carré S1, S2, S3 tels que S1S2 et S1S3 soient des côtés distincts du carré. Y en a-t-il d'autres, non on vérifie aisément que dans ce cas C est envoyé sur le 4 ème sommet. Il y a 4 possibilités pour S1, et deux choix ensuite pour S2, et plus qu'un pour S3. Donc cardinal=4x2=8.
On a comme élément :
ordre 1 : identité ;
ordre 2 : la symétrie centrale ou rotation d'angle pi (isométrie directe), deux symétries d'axe les médianes, deux symétries d'axe les diagonales ;
ordre 4 : deux rotations d'angle +/-pi/2.
On a bien nos 8 éléments
Sous-groupes (donc d'ordre 1, 2, 4 ou 8)
ordre 1 : <id> distingué
ordre 2 : (ce sont des groupes engendrés par un élément d'ordre 2 il y en a donc 5
+ C2=le sous-groupe engendré par la symétrie centrale : elle commute avec toutes les isométries préservant son centre donc avec toutes les isométries du groupe G.
+ <x> <x'> où x et x' sont les deux symétries d'axe les médianes qui sont conjuguées car G "sait" permutter ces deux médianes. Ces deux groupes sont donc non distingués.
+ <y> <y'> où y et y' sont les deux symétries d'axe les diagonales qui sont conjuguées car G "sait" permutter ces deux diagonales. Ces deux groupes sont donc non distingués.
ordre 4 : il y a déjà ceux qui sont engendrés par un élément d'ordre 4. Ici il y en deux z et z' qui engendre le même groupe C4=<z>=<z'>. La conjugaison interne
permutte z et z' mais laisse globalement invariant <z>=<z'> qui est donc un groupe distingué.
Y en a-t-il d'autres d'ordre 4 ? Oui mais alors un tel groupe ne contient pas z ou z' (sinon ce sous-groupe d'ordre 4=<z> ou <z'>). Donc il contient 3 éléments d'ordre 2 en plus de l'identité. Deux symétries un d'axe une médiane l'autre d'axe une diagonale, leur produit est une rotation d'angle=2xangle entre une diagonale et une médiane (dans un sens ou dans un autre) donc z ou z' et le sous-groupe engendré par ces deux éléments contient strictement <z>=<z'> donc n'est pas d'ordre 4.
Maintenant comme il y a deux éléments d'ordre 2 en plus de la symétrie centrale, il a soit les deux symétries d'axe une diagonale y et y', ou deux symétries d'axe une médiane x et x'.
Donc deux groupes
V={id,x,x',symétrie centrale}=<x,x'>=<x>x<x'>, la conjugaison interne laisse globalement {x,x'} invariant et laisse id et la symétrie centrale invariants donc ce groupe V est distingué.
V'={id,y,y',symétrie centrale} même commentaire que juste avant, en particulier sous-groupe distingué.
ordre 8 : G lui même qui est distingué.
Les sous-groupes distingués sont :
<id>, C2, C4, V et V', G.
Que peut-on remarquer ?
C4 est le sous-groupe conservant l'orientation, il est le noyau de l'application G->({+/-1},x) les isométries indirectes étant envoyés sur -1 les autres sur +1.
V est le sous-groupe laissant les médianes invariantes, il est le noyau de l'application G->({+/-1},x) les isométries permuttant les médianes étant envoyés sur -1 les autres sur +1.
V' est le sous-groupe laissant les diagonales invariantes, il est le noyau de l'application G->({+/-1},x) les isométries permuttant les diagonales étant envoyés sur -1 les autres sur +1.
C2 est le sous-groupe conservant l'orientation, préservant les diagonales et les médianes (il aurait pu se produire que l'on ait des sous-groupes différents celui préservant sens+diag, celui préservant sens+médi, celui préservant médi+diag mais alors le groupe aurait eu une autre structure).
id est le sous-groupe préservant chacun des 4 sommets (qui eux sont laissés globalement stables par le groupe)*
<y> préserve {A,C} ou {B,D} par exemple mais aucun de ces deux ensembles de points n'est globalement stables pour G (noter la différence avec *)
<x> préserve les médianes mais il ne contient pas tous les éléments conservant celles-ci.
<x>, <x'>, <y> <y'> les sous-groupes non distingués ne peuvent être caractérisés par le fait qu'ils contienent tous les éléments préservant quelque chose. Algébriquement cela se remarque en le fait qu'ils sont conjugués à au moins un autre groupe.
Pour les groupes définies géométriquement, cette notion de conservation est intrinsèquement lié à la notion de sous-groupe distingué.
Exemple moins trivial qui permettra de voir un peu plus clair : le groupe des isométries d'un tétraèdre (polyèdre régulier à 4 sommets).
C'est un groupe de 24 éléments :
1 d'ordre 1
3+6 d'ordre 2, les 3 premières sont les symétries d'axe une médiane (droite joignant les milieux de deux arêtes opposées) ce sont trois isométries directes, (elles permuttent 2 à 2 les sommets) les 6 autres sont des symétries passant par rapport à un plan contenant une arête et perpendicualier à l'arête opposé, isométries indirectes (elles laissent invariantes deux sommets et permuttent les deux autres).
6 d'ordre 4 que l'on peut décrire ainsi, ce sont la domposée d'une rotation d'angle pi/2 autour d'une médiane et de la symétrie centrale de centre le tétraèdre (plus facile à voir si on place les 4 sommets du téraèdre sur les sommets d'un cube, ils sont placés de telle manière qu'aucun d'eux ne soient sur une même arête du cube, chaque face contient deux sommets opposés par rapport au centre de la face du cube, les médianes du tétraèdre sont les droites passant par les centres de deux faces du cube oppposées)
Quelles sont les éléments géométriques qui sont globalement préservées par ce groupe ? il y a notamment (une liste exhaustive serait très longue)
+ les 4 sommets, les sous-groupes préservant l'un d'eux, tous conjugués car le groupe "sait" envoyer n'importe quel sommet sur n'importe quel autre, ils ont même structure que le groupe d'isométrie d'un triangle équilatéral (celui formé par les trois autres sommets). Les sous-groupes préservant un sommet et l'orientation sont 4 sous-groupes d'ordre 3 conjugués. Deux sommets cf après, trois=>4, le sous-groupe de conservation distingué (car l'ensemble des 4 sommets est globalement préservé par G) mais trivial c'est <id>
+ les 6 arêtes (ou sous-ensemble de deux sommets), les sous-groupes en préservant une préserve l'arête opposé, il y a 3 de ces groupes conjugués donc non distingués, ils sont d'ordre 4 isomorphes à C2xC2, les sous-groupe laissant deux sommets invarants forment 6 (= nombre des parties à deux éléments parmi 4) sous-groupes d'ordre 2 conjugués. Un élément conservant deux paires de sommet conserve aussi la 3ème paire et par suite est trivial. On peut considérer aussi les paires d'arêtes opposées mais cela revient à préserver les médianes
+ les 3 médianes les sous-groupes en préservant globalement une sont conjugués, ils sont d'ordre 8, ils ont la structure du groupe du 2ème exemple (pour le voir, il faut considérer le carré formé par les 4 autres milieux d'arête qui ne sont pas sur cette médiane), ceux préservant deux milieux opposés (donc laissant tous les points d'une médinae invariants) sont les 3 d'ordre 4 vus ci-avant (ici la conservation de l'orientation d'un carré peut être vu autrement), ceux préservant deux milieux d'arêtes et l'orientation sont d'ordre 2 et forment trois sous-groupes d'ordre 2 conjugués. Un sous-groupe préservant deux médianes préserve les 3, ces éléments sont des isométries directes, il est distingué dans G car G préserve globalement les 3 médianes, c'est un sous-groupe d'ordre 4 constitués de l'identité et trois éléments d'ordre 2 (ceux vus juste avant)
Les 3 C4 sont conjugués car ils sont chacun associé à une unique médiane.
+ les deux sens d'orientation, le sous-groupe d'ordre 12 conservant ceux-ci est distingué.
2 sous-groupes distingués un V4 et un sous-groupe d'ordre 12 et plein de sous-groupes non distingués, ça devrait te plaire.
Algébriquement, certains sous-groupes sont distingués de par leur propriété, deux exemples classiques :
+ le centre (le sous-groupe formé des éléments qui commutent avec tous les autres éléments). On peut aussi le voir comme le sous-groupe laissant les autres invariants pour la conjugaison interne.
+ le groupe dérivé : c'est le sous groupe engendré par les éléments de la forme xy(x-1)(y-1), c'est le plus petit sous-groupe distingué ayant un quotient abélien, tout groupe le contenant est distingué.
Oulà ok ! Merci à tous j'y vois plus clair
