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Inversibilité[ sup, spé]



  1. #1
    kidnapped

    Inversibilité[ sup, spé]


    ------

    Soit A une matrice de rang r

    Comment peut-on montrer qu'il existe M appartenant à GLn(C) telle que M-xA soit inversible pour tout x de C ?

    Pouvez-vous m'indiquer quelques pistes pour résoudre cette question,je suis au point mort.

    Cordialement

    -----
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Déjà, det(M-xA) est un polynôme de Cn[x].
    Il ne peut qu'être constant, car s'il est de degré au moins 1, il se scinde dans C et admet donc au moins 1 racine ...donc det(M-xA)=d est indépendant de x...
    C'était une idée comme ça (pas forcément utile).
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    Taar

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Salut.

    Ta matrice est composée de 1 puis de 0 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs... à une petite manip près qui ne change pas l'inversibilité.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 15/07/2007 à 22h07.

  5. #4
    kidnapped

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Salut.

    Ta matrice est composée de 1 puis de 0 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs... à une petite manip près qui ne change pas l'inversibilité.

    Taar.
    Pourais-tu être beaucoup plus clair, je sais que pusiqe A est de rang r elle est equivalente au genre de matrice que ta définie mais comment on peut démontrer le résultat ensuite?
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Oui mais attention, on te parle ici explicitement de M-xA, qui fait intervenir A...donc je ne suis pas sûr que trouver une base adaptée pour l'endomorphisme associé à A mène à la résolution.
    D'ailleurs, ma remarque comme quoi det(M-xA) doit être une constante indépendante de x te dit que pour tout x: det(M-xA)=det(M)
    Dernière modification par Ledescat ; 15/07/2007 à 22h53.
    Cogito ergo sum.

  8. #6
    Ledescat

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    C'est d'ailleurs pour ça que je songe à une matrice triangulaire...Mais je ne trouve rien pour le moment.
    Cogito ergo sum.

  9. Publicité
  10. #7
    Taar

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    La mise sous forme équivalente simple permet de simplifier l'exposé.
    Disons que A=diag(1,...,1,0,..,0). Soit ei le ie vecteur de la base canonique.

    Supposons que nous disposions "comme par hasard" d'une matrice M :
    qui n'a qu'une valeur propre, non nulle tant qu'à faire
    qui n'a qu'un seul vecteur propre pour cette valeur propre (ie le sous-espace propre est de dimension 1)
    et "comme par hasard" ce vecteur propre est en (j'ai choisi en parce que c'est dans la zone où A a des zéros).

    Alors
    (M-xA)(e1)=Me1 - xe1 ne peut pas être 0
    (M-xA)(e2)=Me2 - xe2 ne peut pas être 0
    ...
    (M-xA)(er)=Mer - xer ne peut pas être 0
    (M-xA)(er+1)=Mer+1 ne peut pas être 0
    ...
    (M-xA)(en-1)=Men-1 ne peut pas être 0

    Et même :
    (M-xA)(en)=Men ne peut pas être 0

    Évidemment ça ne suffit pas mais c'est un gros indice bien gras quand même.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 15/07/2007 à 23h23.

  11. #8
    Ledescat

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Oui mais le truc c'est qu'on peut avoir la matrice A qui vaut :
    (1 2)
    (1 2)

    Et l'on veut une matrice M tq det(M-xA) différent de 0. Et je ne vois pas pourquoi on peut se permettre de simplifier A, car ok le déterminant d'une matrice semblable A' est le même que celui de A, mais det(M-xA) ou det(M-xA') n'a aucun rapport....
    A moins que si l'on trouve la matrice M' pour A', tu saches déduire une matrice M pour A ?
    Cogito ergo sum.

  12. #9
    Taar

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Oui mais le truc c'est qu'on peut avoir la matrice A qui vaut :
    (1 2)
    (1 2)

    Et l'on veut une matrice M tq det(M-xA) différent de 0. Et je ne vois pas pourquoi on peut se permettre de simplifier A, car ok le déterminant d'une matrice semblable A' est le même que celui de A, mais det(M-xA) ou det(M-xA') n'a aucun rapport....
    A moins que si l'on trouve la matrice M' pour A', tu saches déduire une matrice M pour A ?
    Ben oui c'est exactement ça... Et puis on fait mieux que prendre une matrice semblable, on prend une matrice équivalente...

    Bref :
    si PAQ est une matrice diagonale A' comme je l'ai dit (P et Q inversibles)
    si on trouve M telle M-xA' est inversible pour tout x
    alors P-1MQ-1-xA=P-1(M-xA')Q-1 est inversible pour tout x (produit d'inversibles).

  13. #10
    Ledescat

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Ben oui c'est exactement ça... Et puis on fait mieux que prendre une matrice semblable, on prend une matrice équivalente...

    Bref :
    si PAQ est une matrice diagonale A' comme je l'ai dit (P et Q inversibles)
    si on trouve M telle M-xA' est inversible pour tout x
    alors P-1MQ-1-xA=P-1(M-xA')Q-1 est inversible pour tout x (produit d'inversibles).
    Hé ben... je suis le dernier des imbéciles ce soir .
    Sinon, est-ce que c'est vrai ma remarque comme quoi det(M-xA)=det(M) ?
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    kidnapped

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    Alors
    (M-xA)(e1)=Me1 - xe1 ne peut pas être 0
    (M-xA)(e2)=Me2 - xe2 ne peut pas être 0
    ...
    (M-xA)(er)=Mer - xer ne peut pas être 0
    (M-xA)(er+1)=Mer+1 ne peut pas être 0
    ...
    (M-xA)(en-1)=Men-1 ne peut pas être 0

    Et même :
    (M-xA)(en)=Men ne peut pas être 0

    Évidemment ça ne suffit pas mais c'est un gros indice bien gras quand même.

    Taar.
    J'ai deux questions:_ pourquoi tu affirme que ça ne peut être 0?
    _ Qu'est ce qui nous assure de l'inversibilité de M?
    Le Beau est toujours bizarre.Baudelaire

  15. #12
    Taar

    Re : Inversibilité[ sup, spé]

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    Sinon, est-ce que c'est vrai ma remarque comme quoi det(M-xA)=det(M) ?
    Ben oui, et c'est fort joli d'ailleurs.

    Citation Envoyé par kidnapped Voir le message
    pourquoi tu affirme que ça ne peut être 0?
    Si Me1 - xe1 vaut 0, alors e1 est vecteur propre de M, et on a dit que le seul espace propre est Cen. Idem jusqu'à er.
    Si Mer+1 vaut 0, alors er+1 est vecteur propre de M, impossible. Idem jusqu'à en-1.
    Men ne vaut pas 0 car la valeur propre (unique) de M a été choisie non nulle.

    Citation Envoyé par kidnapped Voir le message
    Qu'est ce qui nous assure de l'inversibilité de M?
    Rien encore. C'était juste un indice (qui n'est d'ailleurs pas si génial je m'en rends compte maintenant...)

    Mais bon, pour abréger voici un M qui marche à tous les coups lorsque A a été mise sous la forme requise :

     Cliquez pour afficher


    Taar.

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