Inversibilité[ sup, spé]

[invite4e9186a9]

Soit A une matrice de rang r

Comment peut-on montrer qu'il existe M appartenant à GLn(C) telle que M-xA soit inversible pour tout x de C ?

Pouvez-vous m'indiquer quelques pistes pour résoudre cette question,je suis au point mort.

Cordialement
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[invitec053041c]

Déjà, det(M-xA) est un polynôme de Cn[x].
Il ne peut qu'être constant, car s'il est de degré au moins 1, il se scinde dans C et admet donc au moins 1 racine ...donc det(M-xA)=d est indépendant de x...
C'était une idée comme ça (pas forcément utile).

[invite9cf21bce]

Salut.

Ta matrice est composée de 1 puis de 0 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs... à une petite manip près qui ne change pas l'inversibilité.

Taar.

[invite4e9186a9]

Salut.

Ta matrice est composée de 1 puis de 0 sur la diagonale et de 0 partout ailleurs... à une petite manip près qui ne change pas l'inversibilité.

Taar.

Pourais-tu être beaucoup plus clair, je sais que pusiqe A est de rang r elle est equivalente au genre de matrice que ta définie mais comment on peut démontrer le résultat ensuite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Oui mais attention, on te parle ici explicitement de M-xA, qui fait intervenir A...donc je ne suis pas sûr que trouver une base adaptée pour l'endomorphisme associé à A mène à la résolution.
D'ailleurs, ma remarque comme quoi det(M-xA) doit être une constante indépendante de x te dit que pour tout x: det(M-xA)=det(M)

[invitec053041c]

C'est d'ailleurs pour ça que je songe à une matrice triangulaire...Mais je ne trouve rien pour le moment.

[invite9cf21bce]

La mise sous forme équivalente simple permet de simplifier l'exposé.
Disons que A=diag(1,...,1,0,..,0). Soit e_i le i^e vecteur de la base canonique.

Supposons que nous disposions "comme par hasard" d'une matrice M :
qui n'a qu'une valeur propre, non nulle tant qu'à faire
qui n'a qu'un seul vecteur propre pour cette valeur propre (ie le sous-espace propre est de dimension 1)
et "comme par hasard" ce vecteur propre est e_n (j'ai choisi e_n parce que c'est dans la zone où A a des zéros).

Alors
(M-xA)(e₁)=Me₁ - xe₁ ne peut pas être 0
(M-xA)(e₂)=Me₂ - xe₂ ne peut pas être 0
...
(M-xA)(e_r)=Me_r - xe_r ne peut pas être 0
(M-xA)(e_r+1)=Me_r+1 ne peut pas être 0
...
(M-xA)(e_n-1)=Me_n-1 ne peut pas être 0

Et même :
(M-xA)(e_n)=Me_n ne peut pas être 0

Évidemment ça ne suffit pas mais c'est un gros indice bien gras quand même.

Taar.

[invitec053041c]

Oui mais le truc c'est qu'on peut avoir la matrice A qui vaut :
(1 2)
(1 2)

Et l'on veut une matrice M tq det(M-xA) différent de 0. Et je ne vois pas pourquoi on peut se permettre de simplifier A, car ok le déterminant d'une matrice semblable A' est le même que celui de A, mais det(M-xA) ou det(M-xA') n'a aucun rapport....
A moins que si l'on trouve la matrice M' pour A', tu saches déduire une matrice M pour A ?

[invite9cf21bce]

Oui mais le truc c'est qu'on peut avoir la matrice A qui vaut :
(1 2)
(1 2)

Et l'on veut une matrice M tq det(M-xA) différent de 0. Et je ne vois pas pourquoi on peut se permettre de simplifier A, car ok le déterminant d'une matrice semblable A' est le même que celui de A, mais det(M-xA) ou det(M-xA') n'a aucun rapport....
A moins que si l'on trouve la matrice M' pour A', tu saches déduire une matrice M pour A ?

Ben oui c'est exactement ça... Et puis on fait mieux que prendre une matrice semblable, on prend une matrice équivalente...

Bref :
si PAQ est une matrice diagonale A' comme je l'ai dit (P et Q inversibles)
si on trouve M telle M-xA' est inversible pour tout x
alors P^-1MQ^-1-xA=P^-1(M-xA')Q^-1 est inversible pour tout x (produit d'inversibles).

[invitec053041c]

Ben oui c'est exactement ça... Et puis on fait mieux que prendre une matrice semblable, on prend une matrice équivalente...

Bref :
si PAQ est une matrice diagonale A' comme je l'ai dit (P et Q inversibles)
si on trouve M telle M-xA' est inversible pour tout x
alors P^-1MQ^-1-xA=P^-1(M-xA')Q^-1 est inversible pour tout x (produit d'inversibles).

Hé ben... je suis le dernier des imbéciles ce soir .
Sinon, est-ce que c'est vrai ma remarque comme quoi det(M-xA)=det(M) ?

[invite4e9186a9]

Alors
(M-xA)(e₁)=Me₁ - xe₁ ne peut pas être 0
(M-xA)(e₂)=Me₂ - xe₂ ne peut pas être 0
...
(M-xA)(e_r)=Me_r - xe_r ne peut pas être 0
(M-xA)(e_r+1)=Me_r+1 ne peut pas être 0
...
(M-xA)(e_n-1)=Me_n-1 ne peut pas être 0

Et même :
(M-xA)(e_n)=Me_n ne peut pas être 0

Évidemment ça ne suffit pas mais c'est un gros indice bien gras quand même.

Taar.

J'ai deux questions:_ pourquoi tu affirme que ça ne peut être 0?
_ Qu'est ce qui nous assure de l'inversibilité de M?

[invite9cf21bce]

Sinon, est-ce que c'est vrai ma remarque comme quoi det(M-xA)=det(M) ?

Ben oui, et c'est fort joli d'ailleurs.

pourquoi tu affirme que ça ne peut être 0?

Si Me₁ - xe₁ vaut 0, alors e₁ est vecteur propre de M, et on a dit que le seul espace propre est Ce_n. Idem jusqu'à e_r.
Si Me_r+1 vaut 0, alors e_r+1 est vecteur propre de M, impossible. Idem jusqu'à e_n-1.
Me_n ne vaut pas 0 car la valeur propre (unique) de M a été choisie non nulle.

Qu'est ce qui nous assure de l'inversibilité de M?

Rien encore. C'était juste un indice (qui n'est d'ailleurs pas si génial je m'en rends compte maintenant...)

Mais bon, pour abréger voici un M qui marche à tous les coups lorsque A a été mise sous la forme requise :

 Cliquez pour afficher

Développer ensuite det(M-xA) selon la première ligne.

Mon idée de départ était de choisir M nilpotente pour n'avoir que e_n comme vecteur propre, puis de tripoter un peu le résultat, et ça a donné ça. J'avoue que je n'ai pas été doué pour la transmettre (cette idée). Désolé.

Taar.