Algèbre-inversibilité

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
lorsque l'on travaille dans un espace du type Mn(K), on a des conditions "simples" pour savoir facilement si un élément est ou non inversible.
On peut par exemple travailler sur le déterminant de celle ci.

Si on a le polynôme minimal de notre matrice, on peut voir facilement si celle ci est où non inversible, en regardant le coefficient constant.

Si maintenant on travaille sur un ensemble du genre Z[sqrt(p)] où p est premier, alors on peut montrer qu'un élément x=(a,b) de cet anneau est inversible si et seulement si |a²-pb²|=1

Je me suis alors demandé si on ne pouvait pas trouver des critères simple d'inversibilité sur une algèbre quelconque, ou mieux sur un anneau quelconque.
En fait, la question que je me pose avant tout est:
"Dans un anneau où tout élément possède un polynôme annulateur, comment trouver le polynôme minimal, ou au moins son coefficient constant?"

Est ce qu'on a des réponses, au moins partielles, à ces questions dans le cas le plus général possible?

C'est une question que je me pose depuis près de 2ans maintenant...
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[inviteca3a9be7]

>>>Dans un anneau où tout élément possède un polynôme annulateur, comment trouver le polynôme minimal, ou au moins son coefficient constant?"

Bonjour,

Peux-tu préciser ta pensée car si a € A, X-a € A[X] annule a et est minimal (sauf si a=0, oeuf corse).

[inviteab2b41c6]

Bien sur,
mais si tu commences à faire exprès...

Je n'arrive pas à bien expliquer l'idée, en fait, c'est un peu comme en théorie des nombres, tu as racine de 2 qui est de degré2 de polynôme minimal X².
Tu comprends l'idée?
L'idée c'est que le polynôme ne doit avoir des coefficients que dans l'anneau "de base".

Dit on se connait non?

[inviteca3a9be7]

Si - (coefficient constant du polynome) est un inverse alors l'élément est inversible j'ai l'impression.

La réciproque est vraie pour les matrices (le coeff constant = le déterminant) et pour Z[sqrt(p)], le polynome minimum c'est X^2 - 2a X - (pb²-a²) donc ça marche aussi.

Est-ce que c'est toujours vrai ? ......


>> Dit on se connait non? cf pm

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

L'idée c'est que si son polynôme minimal a un coeff constant nul, alors c'est un diviseur de 0, il suffit de voir que si il est de valuation >0 alors il est factorisable par X, donc il existe un polynôme P tel que
XP=0

Et donc notre élément est diviseur de 0, il ne peut donc pas etre inversible.
L'idée de la réciproque est classique, si sa valuation est nulle on a que le polynôme minimal de mon élément v s'écrit µ(x)=P(X)+a avec a non nul et val(P)>0
de là on obtient
p(v)+a=0 d'où 1/(-a)p(v)=1 et comme p est de valuation au moins 1, il est divisible par X donc v est inversible d'inverse p(v)/(-av)

[inviteab2b41c6]

Attention tout de même,
le déterminant est le coeff constant du polynôme caracteristique, mais pas toujours du polynôme minimal.
C'est le cas notamment si la matrice a un polynôme minimal scindé à racines simples, et que le polynôme caracteristique est à racines multiples.....

[inviteca3a9be7]

Attention tout de même,
le déterminant est le coeff constant du polynôme caracteristique, mais pas toujours du polynôme minimal.
C'est le cas notamment si la matrice a un polynôme minimal scindé à racines simples, et que le polynôme caracteristique est à racines multiples.....

Oui oui, mais tu parlais d'"*un* polynôme annulateur" pas du polynôme minimal !

Oui oui, si le coefficient constant est inversible alors l'élément est inversible. La question c'est : qu'est ce qu'on peut dire sinon ....

[inviteab2b41c6]

Quelle hypothèse fais tu pour dire que si le coefficient constant est inversible alors l'élément l'est?
Mon idée de départ était en fait, nettement moins forte que la tienne.

Déjà pour poser les choses, on est d'accord que l'on parle du polynôme minimal, que l'on va appeler µ.

[inviteca3a9be7]

Ben, je fais pas d'hypothèse, j'écris P - P(0) = XQ(X).
Si a une une racine de P alors a * Q(a) = -P(0) i.e on a a^-1 = Q(a)*(-P(0))^-1. Ou alors je comprends pas la question !

[inviteab2b41c6]

Salut,
non c'est exactement ca, d'ailleurs j'ai donné la même démo plus haut.
En fait il y'a un truc qui me coinçais je ne sais pas pourquoi, j'avais une autre idée en tête...

Maintenant l'idée est de montrer que si un élément a d'un anneau est un diviseur de 0 alors il ne peut pas être inversible:
Si a (non nul) est diviseur de 0, alors il existe b non nul tel que ab=0
Ainsi supposons a inversible d'invers a^(-1)
On a par multiplication à gauche
a^(-1)ab=1b=b=0 d'où b=0.
D'où la contradiction.

Ca c'est évident.
L'idée est que si µ[a] est a une valuation >0, alors il est divisible par X.
En particulier, il existe un polynôme P tel que
XP=µ[a]
En particulier, on a
ap(a)=µ[a](a)=0
-> ap(a)=0 avec p(a) non nul (sinon p serait le polynôme minimal de a)
et donc a est un diviseur de 0, il ne peut donc etre inversible.

Voilà l'idée de prendre le dernier coefficient du polynôme minimal comme "test" pour savoir si notre élément a est ou non inversible. On a en effet l'équivalence...

L'ennui est de trouver ce fameux coefficient dans tous les cas...

[inviteab2b41c6]

Personne n'est interessé?