espaces de Baire

[invite9079ea52]

bonjour à tous
j'essaie de montrer que si U est un ouvert non vide d'un espace topologique X qui est de baire alors U est lui même un espace de Baire. Je vous prie d'avance d'excuser mes notations, je ne sais pas du tout comment faire des intersections des inclusions ...
En supposant qu'une partie rare de U est une partie rare de X, je finis la démonstration facilement. Seulement voilà, encore faut il montrer cette affirmation et c'est là que j'ai besoin d'un coup de main.
Voilà comment j'ai commencé:
Soit A une partie rare de U. J'ai montré que A partie rare de U équivaut à U\adh(A) dense dans U et donc pour montrer que A est une partie rare de X, je vais montrer que X\adh(A) est dense dans X.
Pour cela, je me donne un ouvert non vide V de X et je montre que l'intersection de V et X\adh(A) est non vide.
On a 2 possibilité :
la première : l'intersection de V et U est non vide. Alors, puisque V est un ouvert de X, V inter U est un ouvert de U et qui de plus est non vide par hypothèse de la première possibilité. Alors, puisque
U\adh(A) est dense dans U, par définition de la densité, j'en déduit que (V inter U) inter U\adh(A) est non vide. Du coup, sachant que
U\adh(A) est inclus dans X\adh(A), car U inclus dans X, je déduit que (V inter U) inter X\adh(A) est non vide et donc, puisque
V inter U est inclus dans V, il vient que V inter (X\adh(A)) est non vide. et donc dans ce cas, pas de problème, X\adh(A) est dense dans X.
la deuxième possibilité : l'intersection de V et U est vide.
Et là, c'est le drame, je ne trouve rien. Enfin, ce cas signifie que V est inclus dans X\U et puisque V est un ouvert non vide de X alors X\U est non vide. Mais bon...
Voilà où j'en suis, je pense qu'il ne manque pas grand chose mais je ne vois pas. Je sais qu'il existe d'autres démonstrations mais j'aimerais vraiment finir celle ci. Si quelqu'un a une idée, elle est la bien venue.
Merci
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[inviteca3a9be7]

Bonjour,


Je crois que c'est plus simple en fait (j'ai pas le courage de lire ta démo).

Soit U_n est une suite d'ouverts denses de U.
Soit V_n = U_n union comp(adh(U)) (comp = complémentaire, adh=adhérence, inter = intersection)

UU = inter U_n, on veut montrer adh(UU) contient U.

Alors :
. V_n est une suite d'ouverts de X
. les V_n sont denses dans X

Donc X = adh(inter V_n) par Baire = adh(UU) union adh(comp(adh(U)))

mais adh(UU) union adh(comp(adh(U)))) = vide donc U inclus dans adh(UU). Fini.

[doryphore]

la deuxième possibilité : l'intersection de V et U est vide.
Et là, c'est le drame, je ne trouve rien. Enfin, ce cas signifie que V est inclus dans X\U et puisque V est un ouvert non vide de X alors X\U est non vide. Mais bon...

Où est le drame?

Tu as pris un ouvert V de X\V et tu as montré que V(X\A) est non vide dans ce cas également.

Puisque tu n'enlèves pas de point dans cette région de X, c'est normal que ce soit dense.

[invite51f4efbf]

Je crois que c'est plus simple en fait (j'ai pas le courage de lire ta démo).

Tout pareil.

[A voir en vidéo sur Futura]