Espaces euclidiens

[inviteda9ded21]

Hello,

Est-ce que quelqu'un pourrait me proposer une démonstration de la proposition suivante:

Tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomorphe à IRⁿ

Merci.
-----

[matthias]

Tout espace vectoriel euclidien de dimension n est isomorphe à IRⁿ

Pour commencer, ceci est faux !

Par contre il est vrai que tout espace vectoriel de dimension n sur le corps IR est isomorphe à IRⁿ.

Si tu prends C, c'est un espace vectoriel de dimension 1 sur C mais il n'est pas isomorphe à IR (mais bien à IR²).

Ou plus généralement, un espace vectoriel E de dimension n sur K est isomorphe à Kⁿ.

Il suffit de prendre une base (e₁, e₂, ..., e_n) de l'espace E, et d'introduire :
f : E -> Kⁿ


et de montrer que c'est un isomorphisme.

[inviteda9ded21]

Ok... merci!

Et est ce qu'on peut généraliser à
Tout espace vectoriel de dimension finie sur IR est isomorphe à IRⁿ ?

[Coincoin]

Salut,

Tout espace vectoriel de dimension finie sur IR est isomorphe à IRn ?

C'est quoi n dans ce cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda9ded21]

Désolée, n c'est la dimension de l'espace, donc c'est bien ce que Matthias m'avait répondu...

Faut que j'aille me coucher, mon cerveau chauffe trop.

Merci beaucoup pour la réponse si rapide.

[Gwyddon]

Ceci dit, pour pinailler un peu, on sous-entend souvent pour espace euclidien espace vectoriel de dimension finie sur IR et muni d'un produit scalaire.

On dit d'un espace vectoriel de dimension finie sur C et muni d'un produit scalaire qu'il est hilbertien.

Donc dans ce contexte, avec la différence citée ci-dessus, ce qu'avait affirmé i_deux n'est pas mathématiquement faux

Bon mais dans l'histoire ce qu'il faut retenir c'est quand même ce qu'a dit matthias et sa démonstration.

[invite8b04eba7]

D'ailleurs (pour pinalilller un peu plus), quand on parle de "isomorphisme" pour des espaces euclidiens on parle en fait d'isométrie linéaire bijective.

L'application que Matthias construit convient bien si l'on prend une base orthonormale de l'espace de départ, puisqu'alors la norme d'un vecteur , est, d'après Pythagore, la norme de dans Rⁿ.